Question 1

यदि एक रेखा $x, y$ और $z$-अक्ष के साथ क्रमशः $90^\circ, 135^\circ, 45^\circ$ के कोण बनाती है तो इसकी दिक्-कोसाइन ज्ञात कीजिए।

Accepted Answer

दिक्-कोसाइन वे कोसाइन होते हैं जो रेखा द्वारा x, y और z-अक्षों के साथ बनाये गए कोणों के होते हैं।

दी गई कोण हैं: $90^\circ, 135^\circ, 45^\circ$

इसलिए, दिक्-कोसाइन होंगे:
$$
\cos 90^\circ = 0, \quad \cos 135^\circ = -\frac{1}{\sqrt{2}}, \quad \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}
$$

अतः दिक्-कोसाइन हैं $0, -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}$। — दिक्-कोसाइन किसी रेखा के x, y, z अक्षों के साथ बनाये गए कोणों के कोसाइन होते हैं। दिए गए कोणों के कोसाइन निकालकर सीधे दिक्-कोसाइन प्राप्त होते हैं।

Question 2

एक रेखा की दिक्-कोसाइन ज्ञात कीजिए जो निर्देशांशों के साथ समान कोण बनाती है।

Accepted Answer

यदि रेखा निर्देशांशों के साथ समान कोण बनाती है, तो सभी कोण बराबर होंगे।

चूंकि दिक्-कोसाइन $l, m, n$ हैं और $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ होता है।

यदि सभी समान हैं, तो $l = m = n = x$ कहें।

तो, $3x^2 = 1 \Rightarrow x^2 = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

अतः दिक्-कोसाइन हैं $\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}$ या उनके ऋणात्मक मान। — सभी दिक्-कोसाइन समान होने पर उनका वर्ग योग 1 होता है। इससे प्रत्येक दिक्-कोसाइन का मान निकालना सरल है।

Question 3

यदि एक रेखा के दिक्-अनुपात $-18, 12, -4$, हैं तो इसकी दिक्-कोसाइन क्या हैं?

Accepted Answer

दिए गए दिक्-अनुपात हैं: $-18, 12, -4$

दिक्-कोसाइन निकालने के लिए पहले इनका मान निकालते हैं:

$$
\sqrt{(-18)^2 + 12^2 + (-4)^2} = \sqrt{324 + 144 + 16} = \sqrt{484} = 22
$$

अतः दिक्-कोसाइन होंगे:

$$
\frac{-18}{22} = -\frac{9}{11}, \quad \frac{12}{22} = \frac{6}{11}, \quad \frac{-4}{22} = -\frac{2}{11}
$$

अतः दिक्-कोसाइन हैं $-\frac{9}{11}, \frac{6}{11}, -\frac{2}{11}$। — दिक्-अनुपात को उनके मान (magnitude) से भाग देकर दिक्-कोसाइन प्राप्त होते हैं।

Question 4

दर्शाइए कि बिंदु $(2, 3, 4), (-1, -2, 1), (5, 8, 7)$ सरेख हैं।

Accepted Answer

बिंदु हैं: $A(2,3,4), B(-1,-2,1), C(5,8,7)$

सरेखता जांचने के लिए, देखें कि $\overrightarrow{AB}$ और $\overrightarrow{BC}$ सदिश अनुपात में हैं या नहीं।

$$
\overrightarrow{AB} = B - A = (-1 - 2, -2 - 3, 1 - 4) = (-3, -5, -3)
$$

$$
\overrightarrow{BC} = C - B = (5 + 1, 8 + 2, 7 - 1) = (6, 10, 6)
$$

अब देखें कि क्या $\overrightarrow{BC} = k \overrightarrow{AB}$ के लिए कोई वास्तविक संख्या $k$ है:

$$
\frac{6}{-3} = -2, \quad \frac{10}{-5} = -2, \quad \frac{6}{-3} = -2
$$

सभी अनुपात समान हैं, अतः $k = -2$

इसलिए, बिंदु सरेख हैं। — यदि दो सदिश अनुपात में हैं, तो तीन बिंदु सरेख होते हैं। यहाँ $\overrightarrow{BC} = -2 \overrightarrow{AB}$ है।

Question 5

एक त्रिभुज की भुजाओं की दिक्-कोसाइन ज्ञात कीजिए यदि त्रिभुज के शीर्ष बिंदु $(3, 5, -4), (-1, 1, 2)$ और $(-5, -5, -2)$ हैं।

Accepted Answer

त्रिभुज के शीर्ष हैं: $A(3,5,-4), B(-1,1,2), C(-5,-5,-2)$

भुजाओं के सदिश:

$$
\overrightarrow{AB} = B - A = (-1 - 3, 1 - 5, 2 + 4) = (-4, -4, 6)
$$

$$
\overrightarrow{BC} = C - B = (-5 + 1, -5 - 1, -2 - 2) = (-4, -6, -4)
$$

$$
\overrightarrow{CA} = A - C = (3 + 5, 5 + 5, -4 + 2) = (8, 10, -2)
$$

अब, भुजाओं की लंबाई:

$$
|AB| = \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 16 + 36} = \sqrt{68}
$$

$$
|BC| = \sqrt{(-4)^2 + (-6)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 36 + 16} = \sqrt{68}
$$

$$
|CA| = \sqrt{8^2 + 10^2 + (-2)^2} = \sqrt{64 + 100 + 4} = \sqrt{168}
$$

दिक्-कोसाइन निकालने के लिए, कोणों के बीच के सदिश गुणन का उपयोग करें। उदाहरण के लिए, कोण A के लिए:

$$
\cos \theta_A = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|AB||AC|}
$$

जहाँ $\overrightarrow{AC} = C - A = (-5 - 3, -5 - 5, -2 + 4) = (-8, -10, 2)$

$$
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-4)(-8) + (-4)(-10) + 6(2) = 32 + 40 + 12 = 84
$$

$$
|AB| = \sqrt{68}, \quad |AC| = \sqrt{168}
$$

$$
\cos \theta_A = \frac{84}{\sqrt{68} \times \sqrt{168}} = \frac{84}{\sqrt{11424}} = \frac{84}{\approx 106.91} \approx 0.786
$$

इसी प्रकार, अन्य कोणों के लिए भी दिक्-कोसाइन निकालें। — त्रिभुज की भुजाओं के सदिश निकालकर उनके बीच के कोणों के कोसाइन निकालते हैं। दिक्-कोसाइन कोण के कोसाइन के बराबर होते हैं।

Question 6

दर्शाइए कि दिक्-कोसाइन $\frac{12}{13}$, $\frac{-3}{13}$, $\frac{-4}{13}$; $\frac{4}{13}$, $\frac{12}{13}$, $\frac{3}{13}$; $\frac{3}{13}$, $\frac{-4}{13}$, $\frac{12}{13}$ वाली तीन रेखाएँ परस्पर लंबवत् हैं।

Accepted Answer

तीन रेखाओं के दिशा सदिश क्रमशः $\vec{a} = \left(\frac{12}{13}, \frac{-3}{13}, \frac{-4}{13}\right)$, $\vec{b} = \left(\frac{4}{13}, \frac{12}{13}, \frac{3}{13}\right)$, और $\vec{c} = \left(\frac{3}{13}, \frac{-4}{13}, \frac{12}{13}\right)$ हैं।

यदि तीन रेखाएँ परस्पर लंबवत् हैं, तो उनके दिशा सदिशों का जोड़ शून्य होना चाहिए या वे एक-दूसरे के लिए लंबवत् होने चाहिए।

जाँच करते हैं:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{12}{13} \times \frac{4}{13} + \left(-\frac{3}{13}\right) \times \frac{12}{13} + \left(-\frac{4}{13}\right) \times \frac{3}{13} = \frac{48}{169} - \frac{36}{169} - \frac{12}{169} = 0$

$\vec{b} \cdot \vec{c} = \frac{4}{13} \times \frac{3}{13} + \frac{12}{13} \times \left(-\frac{4}{13}\right) + \frac{3}{13} \times \frac{12}{13} = \frac{12}{169} - \frac{48}{169} + \frac{36}{169} = 0$

$\vec{c} \cdot \vec{a} = \frac{3}{13} \times \frac{12}{13} + \left(-\frac{4}{13}\right) \times \left(-\frac{3}{13}\right) + \frac{12}{13} \times \left(-\frac{4}{13}\right) = \frac{36}{169} + \frac{12}{169} - \frac{48}{169} = 0$

इस प्रकार, तीनों रेखाएँ परस्पर लंबवत् हैं। — तीन रेखाओं के दिशा सदिशों के बीच डॉट प्रोडक्ट निकालकर जांचा कि वे शून्य हैं, जो दर्शाता है कि वे परस्पर लंबवत् हैं।

Question 7

दर्शाइए कि बिंदुओं $(1, -1, 2)$, $(3, 4, -2)$ से होकर जाने वाली रेखा बिंदुओं $(0, 3, 2)$ और $(3, 5, 6)$ से जाने वाली रेखा पर लंब है।

Accepted Answer

पहली रेखा के दो बिंदु हैं: $A(1, -1, 2)$ और $B(3, 4, -2)$।
दिशा सदिश $\vec{AB} = (3 - 1)\hat{i} + (4 + 1)\hat{j} + (-2 - 2)\hat{k} = 2\hat{i} + 5\hat{j} - 4\hat{k}$

दूसरी रेखा के दो बिंदु हैं: $C(0, 3, 2)$ और $D(3, 5, 6)$।
दिशा सदिश $\vec{CD} = (3 - 0)\hat{i} + (5 - 3)\hat{j} + (6 - 2)\hat{k} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 4\hat{k}$

दो रेखाएँ परस्पर लंब हैं यदि उनके दिशा सदिशों का डॉट प्रोडक्ट शून्य हो:
$\vec{AB} \cdot \vec{CD} = 2 \times 3 + 5 \times 2 + (-4) \times 4 = 6 + 10 - 16 = 0$

इसलिए, रेखाएँ परस्पर लंब हैं। — दो रेखाओं के दिशा सदिशों का डॉट प्रोडक्ट निकालकर जांचा कि वह शून्य है, अतः वे परस्पर लंबवत् हैं।

Question 8

दर्शाइए कि बिंदुओं $(4, 7, 8)$, $(2, 3, 4)$ से होकर जाने वाली रेखा, बिंदुओं $(-1, -2, 1)$, $(1, 2, 5)$ से जाने वाली रेखा के समांतर है।

Accepted Answer

पहली रेखा के दो बिंदु हैं: $P(4,7,8)$ और $Q(2,3,4)$।
दिशा सदिश $\vec{PQ} = (2 - 4)\hat{i} + (3 - 7)\hat{j} + (4 - 8)\hat{k} = -2\hat{i} -4\hat{j} -4\hat{k}$

दूसरी रेखा के दो बिंदु हैं: $R(-1,-2,1)$ और $S(1,2,5)$।
दिशा सदिश $\vec{RS} = (1 + 1)\hat{i} + (2 + 2)\hat{j} + (5 - 1)\hat{k} = 2\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}$

$\vec{PQ} = -1 \times \vec{RS}$ है, अतः वे समांतर हैं। — दिशा सदिशों की तुलना कर यह दिखाया कि वे एक-दूसरे के समानुपाती हैं, अतः रेखाएँ समांतर हैं।

Question 9

बिंदु $(1, 2, 3)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो सदिश $3\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$ के समांतर है।

Accepted Answer

दिशा सदिश $\vec{d} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$ है।

बिंदु $P(1,2,3)$ से गुजरने वाली रेखा का सदिश समीकरण:
$$
\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{d} = (1\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) + \lambda (3\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k})
$$

कार्तीय समीकरण:
$$
\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 3}{-2}
$$ — दिए गए बिंदु और दिशा सदिश से रेखा का सदिश और कार्तीय समीकरण लिखा।

Question 10

बिंदु जिसकी स्थिति सदिश $2\hat{i} - j + 4\hat{k}$ से गुजरने व सदिश $\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ की दिशा में जाने वाली रेखा का सदिश और कार्तीय रूपों में समीकरण ज्ञात कीजिए।

Accepted Answer

बिंदु $P = 2\hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k}$ है, अर्थात् $(2, -1, 4)$।

दिशा सदिश $\vec{d} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ है।

सदिश समीकरण:
$$
\vec{r} = (2\hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k}) + \lambda (\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k})
$$

कार्तीय समीकरण:
$$
\frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 4}{-1}
$$ — दिए गए बिंदु और दिशा सदिश से रेखा का सदिश और कार्तीय समीकरण लिखा।

Question 11

उस रेखा का कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिंदु $(-2, 4, -5)$ से जाती है और $\frac{x + 3}{3} = \frac{y - 4}{5} = \frac{z + 8}{6}$ के समांतर है।

Accepted Answer

दिशा सदिश $\vec{d} = 3\hat{i} + 5\hat{j} + 6\hat{k}$ है।

बिंदु $P(-2,4,-5)$ से गुजरने वाली रेखा का कार्तीय समीकरण:
$$
\frac{x + 2}{3} = \frac{y - 4}{5} = \frac{z + 5}{6}
$$ — दिए गए बिंदु और समांतर रेखा के दिशा सदिश से कार्तीय समीकरण लिखा।

Question 12

एक रेखा का कार्तीय समीकरण $\frac{x - 5}{3} = \frac{y + 4}{7} = \frac{z - 6}{2}$ है। इसका सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।

Accepted Answer

कार्तीय समीकरण से:

बिंदु $P(5, -4, 6)$ और दिशा सदिश $\vec{d} = 3\hat{i} + 7\hat{j} + 2\hat{k}$ है।

सदिश समीकरण:
$$
\vec{r} = (5\hat{i} - 4\hat{j} + 6\hat{k}) + \lambda (3\hat{i} + 7\hat{j} + 2\hat{k})
$$ — कार्तीय समीकरण से बिंदु और दिशा सदिश निकालकर सदिश समीकरण लिखा।

Question 13

निम्नलिखित रेखा-युग्मों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए:
(i) $r = 2\hat{i} - 5\hat{j} + \hat{k} + \lambda (3\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k})$ और
$r = 7\hat{i} - 6\hat{k} + \mu (\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k})$
(ii) $r = 3\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k} + \lambda (\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k})$ और
$r = 2\hat{i} - \hat{j} - 56\hat{k} + \mu (3\hat{i} - 5\hat{j} - 4\hat{k})$

Accepted Answer

कोण ज्ञात करने के लिए दिशा सदिशों के बीच का कोण निकालें।

(i) दिशा सदिश:
$\vec{d_1} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}$
$\vec{d_2} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$

$$
\cos \theta = \frac{\vec{d_1} \cdot \vec{d_2}}{|\vec{d_1}||\vec{d_2}|}
$$
$$
\vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = 3 \times 1 + 2 \times 2 + 6 \times 2 = 3 + 4 + 12 = 19
$$
$$
|\vec{d_1}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7
$$
$$
|\vec{d_2}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3
$$
$$
\cos \theta = \frac{19}{7 \times 3} = \frac{19}{21}
$$
$\theta = \cos^{-1} \left(\frac{19}{21}\right)$

(ii) दिशा सदिश:
$\vec{d_1} = \hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$
$\vec{d_2} = 3\hat{i} - 5\hat{j} - 4\hat{k}$

$$
\vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = 1 \times 3 + (-1) \times (-5) + (-2) \times (-4) = 3 + 5 + 8 = 16
$$
$$
|\vec{d_1}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}
$$
$$
|\vec{d_2}| = \sqrt{3^2 + (-5)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 25 + 16} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}
$$
$$
\cos \theta = \frac{16}{\sqrt{6} \times 5\sqrt{2}} = \frac{16}{5 \sqrt{12}} = \frac{16}{5 \times 2\sqrt{3}} = \frac{16}{10\sqrt{3}} = \frac{8}{5\sqrt{3}}
$$
$\theta = \cos^{-1} \left(\frac{8}{5\sqrt{3}}\right)$ (यदि मान 1 से अधिक हो तो त्रुटि जाँचें)

यहाँ ध्यान दें कि $\frac{8}{5\sqrt{3}} > 1$ नहीं हो सकता, अतः पुनः जाँच करें:
$$
\sqrt{6} \times 5\sqrt{2} = 5 \sqrt{12} = 5 \times 2 \sqrt{3} = 10 \sqrt{3}
$$
$$
\cos \theta = \frac{16}{10 \sqrt{3}} = \frac{8}{5 \sqrt{3}} \approx \frac{8}{5 \times 1.732} = \frac{8}{8.66} \approx 0.923
$$
$\theta = \cos^{-1} (0.923) \approx 22.62^\circ$ — दिशा सदिशों के डॉट प्रोडक्ट और उनकी लंबाई निकालकर कोसाइन नियम से कोण ज्ञात किया।

Question 14

निम्नलिखित रेखा-युग्मों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए:
(i) $\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 1}{5} = \frac{z + 3}{-3}$ और $\frac{x + 2}{-1} = \frac{y - 4}{8} = \frac{z - 5}{4}$
(ii) $\frac{x}{2} = \frac{y}{2} = \frac{z}{1}$ और $\frac{x - 5}{4} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 3}{8}$

Accepted Answer

कोण ज्ञात करने के लिए दिशा सदिश निकालें:

(i) दिशा सदिश:
$\vec{d_1} = 2\hat{i} + 5\hat{j} - 3\hat{k}$
$\vec{d_2} = -1\hat{i} + 8\hat{j} + 4\hat{k}$

$$
\vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = 2 \times (-1) + 5 \times 8 + (-3) \times 4 = -2 + 40 - 12 = 26
$$
$$
|\vec{d_1}| = \sqrt{2^2 + 5^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 25 + 9} = \sqrt{38}
$$
$$
|\vec{d_2}| = \sqrt{(-1)^2 + 8^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 64 + 16} = \sqrt{81} = 9
$$
$$
\cos \theta = \frac{26}{9 \sqrt{38}} \approx \frac{26}{9 \times 6.164} = \frac{26}{55.48} \approx 0.468
$$
$\theta = \cos^{-1} (0.468) \approx 62.1^\circ$

(ii) दिशा सदिश:
$\vec{d_1} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + 1\hat{k}$
$\vec{d_2} = 4\hat{i} + 1\hat{j} + 8\hat{k}$

$$
\vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = 2 \times 4 + 2 \times 1 + 1 \times 8 = 8 + 2 + 8 = 18
$$
$$
|\vec{d_1}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3
$$
$$
|\vec{d_2}| = \sqrt{4^2 + 1^2 + 8^2} = \sqrt{16 + 1 + 64} = \sqrt{81} = 9
$$
$$
\cos \theta = \frac{18}{3 \times 9} = \frac{18}{27} = \frac{2}{3} = 0.6667
$$
$\theta = \cos^{-1} (0.6667) \approx 48.19^\circ$ — दिशा सदिशों के डॉट प्रोडक्ट और लंबाई निकालकर कोसाइन नियम से कोण ज्ञात किया।

Question 15

$p$ का मान ज्ञात कीजिए ताकि रेखाएँ $\frac{1 - x}{3} = \frac{7y - 14}{2p} = \frac{z - 3}{2}$ और $\frac{7 - 7x}{3p} = \frac{y - 5}{1} = \frac{6 - z}{5}$ परस्पर लंब हों।

Accepted Answer

पहली रेखा के दिशा सदिश:
$$
\vec{d_1} = -3\hat{i} + \frac{2p}{7}\hat{j} + 2\hat{k}
$$

दूसरी रेखा के दिशा सदिश:
$$
\vec{d_2} = -\frac{7}{3p}\hat{i} + 1\hat{j} - 5\hat{k}
$$

दो रेखाएँ परस्पर लंब हैं यदि $\vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = 0$:

$$
(-3) \times \left(-\frac{7}{3p}\right) + \frac{2p}{7} \times 1 + 2 \times (-5) = 0
$$
$$
\frac{21}{3p} + \frac{2p}{7} - 10 = 0
$$
$$
\frac{7}{p} + \frac{2p}{7} = 10
$$
$$\Rightarrow \frac{49 + 2p^2}{7p} = 10 \implies 49 + 2p^2 = 70p
$$
$$2p^2 - 70p + 49 = 0$$

$$p^2 - 35p + 24.5 = 0$$

$$p = \frac{35 \pm \sqrt{35^2 - 4 \times 24.5}}{2} = \frac{35 \pm \sqrt{1225 - 98}}{2} = \frac{35 \pm \sqrt{1127}}{2}$$

$$\sqrt{1127} \approx 33.57$$

$$p = \frac{35 \pm 33.57}{2}$$

$$p_1 = \frac{68.57}{2} = 34.285, \quad p_2 = \frac{1.43}{2} = 0.715$$

अतः $p$ के दो मान हैं: लगभग $34.285$ और $0.715$। — दिशा सदिशों का डॉट प्रोडक्ट शून्य करके $p$ के मान निकाले।

Chapter 5

Chapter 5 — अध्ययन नोट्स

11.1 भूमिका (Introduction)

11.2 रेखा के दिक्-कोसाइन और दिक्-अनुपात (Direction Cosines and Direction Ratios of a Line)

11.2.1 दो बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा की दिक्-कोसाइन (Direction cosines of a line passing through two points)

अभ्यास प्रश्न — Chapter 5

Ganit-II के सभी 7 अध्याय