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त्रि-विमीय ज्यामिति | Class 12 Mathematics Notes

द्वारा ConceptScroll Team · प्रकाशित 17 जुलाई 2026 · 3 मिनट का पठन

त्रि-विमीय ज्यामिति – this guide gives you a concise, exam-ready overview of त्रि-विमीय ज्यामिति from Class 12 Mathematics, written by ConceptScroll editors and reviewed against the latest NCERT textbook.

11.4 दो रेखाओं के मध्य कोण (Angle between two lines)

अंतरिक्ष में दो रेखाएँ L₁ और L₂ जिनके दिक्-अनुपात क्रमशः (a₁, b₁, c₁) और (a₂, b₂, c₂) हैं, के बीच का न्यून कोण θ निम्नलिखित सूत्र द्वारा ज्ञात होता है:

cos θ = |(a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂) / (√(a₁² + b₁² + c₁²) × √(a₂² + b₂² + c₂²))|

यदि रेखाओं के दिक्-कोसाइन (l₁, m₁, n₁) और (l₂, m₂, n₂) हैं, तो

cos θ = |l₁l₂ + m₁m₂ + n₁n₂|

यहाँ θ रेखाओं के बीच का न्यून कोण है।

रेखाएँ लंबवत होती हैं यदि θ = 90°, अर्थात् उनके दिक्-अनुपातों का आंतरिक गुणनफल शून्य हो।

रेखाएँ समांतर होती हैं यदि उनके दिक्-अनुपात समानुपाती हों।

यदि रेखाओं के सदिश समीकरण r = a₁ + λ b₁ और r = a₂ + μ b₂ हों, तो

cos θ = |(b₁ · b₂) / (|b₁| |b₂|)|

इस प्रकार दो रेखाओं के बीच का कोण सदिश गुणनफल से भी ज्ञात किया जा सकता है।

📊 Diagram: See figure_6: आकृति 11.4

🧪 Activity: छात्रों को विभिन्न रेखाओं के दिक्-अनुपातों से कोण निकालने का अभ्यास दिया जाता है।

🔗 Connection: यह खंड दो रेखाओं के बीच न्यूनतम दूरी की व्याख्या के लिए आधार प्रदान करता है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

1. यदि एक रेखा $x, y$ और $z$-अक्ष के साथ क्रमशः $90^\circ, 135^\circ, 45^\circ$ के कोण बनाती है तो इसकी दिक्-कोसाइन ज्ञात कीजिए।

दिक्-कोसाइन वे कोसाइन होते हैं जो रेखा द्वारा x, y और z-अक्षों के साथ बनाये गए कोणों के होते हैं।

दी गई कोण हैं: $90^\circ, 135^\circ, 45^\circ$

इसलिए, दिक्-कोसाइन होंगे: \[ \cos 90^\circ = 0, \quad \cos 135^\circ = -\frac{1}{\sqrt{2}}, \quad \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} \]

अतः दिक्-कोसाइन हैं $0, -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}$।

2. एक रेखा की दिक्-कोसाइन ज्ञात कीजिए जो निर्देशांशों के साथ समान कोण बनाती है।

यदि रेखा निर्देशांशों के साथ समान कोण बनाती है, तो सभी कोण बराबर होंगे।

चूंकि दिक्-कोसाइन $l, m, n$ हैं और $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ होता है।

यदि सभी समान हैं, तो $l = m = n = x$ कहें।

तो, $3x^2 = 1 \Rightarrow x^2 = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

अतः दिक्-कोसाइन हैं $\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}$ या उनके ऋणात्मक मान।

3. यदि एक रेखा के दिक्-अनुपात $-18, 12, -4$, हैं तो इसकी दिक्-कोसाइन क्या हैं?

दिए गए दिक्-अनुपात हैं: $-18, 12, -4$

दिक्-कोसाइन निकालने के लिए पहले इनका मान निकालते हैं:

\[ \sqrt{(-18)^2 + 12^2 + (-4)^2} = \sqrt{324 + 144 + 16} = \sqrt{484} = 22 \]

अतः दिक्-कोसाइन होंगे:

\[ \frac{-18}{22} = -\frac{9}{11}, \quad \frac{12}{22} = \frac{6}{11}, \quad \frac{-4}{22} = -\frac{2}{11} \]

अतः दिक्-कोसाइन हैं $-\frac{9}{11}, \frac{6}{11}, -\frac{2}{11}$।

4. दर्शाइए कि बिंदु $(2, 3, 4), (-1, -2, 1), (5, 8, 7)$ सरेख हैं।

बिंदु हैं: $A(2,3,4), B(-1,-2,1), C(5,8,7)$

सरेखता जांचने के लिए, देखें कि $\overrightarrow{AB}$ और $\overrightarrow{BC}$ सदिश अनुपात में हैं या नहीं।

\[ \overrightarrow{AB} = B - A = (-1 - 2, -2 - 3, 1 - 4) = (-3, -5, -3) \]

\[ \overrightarrow{BC} = C - B = (5 + 1, 8 + 2, 7 - 1) = (6, 10, 6) \]

अब देखें कि क्या $\overrightarrow{BC} = k \overrightarrow{AB}$ के लिए कोई वास्तविक संख्या $k$ है:

\[ \frac{6}{-3} = -2, \quad \frac{10}{-5} = -2, \quad \frac{6}{-3} = -2 \]

सभी अनुपात समा

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