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त्रि-विमीय ज्यामिति | Class 12 Mathematics Notes

द्वारा ConceptScroll Team · प्रकाशित 17 जुलाई 2026 · 3 मिनट का पठन

त्रि-विमीय ज्यामिति – this guide gives you a concise, exam-ready overview of त्रि-विमीय ज्यामिति from Class 12 Mathematics, written by ConceptScroll editors and reviewed against the latest NCERT textbook.

11.2 रेखा के दिक्-कोसाइन और दिक्-अनुपात (Direction Cosines and Direction Ratios of a Line)

कक्षा 10 में हमने जाना था कि किसी रेखा द्वारा x, y और z-अक्षों के साथ बनाए गए कोण α, β, γ को दिक्-कोण कहा जाता है। इन कोणों के कोसाइन cosα, cosβ और cosγ को उस रेखा के दिक्-कोसाइन कहते हैं। यदि रेखा की दिशा विपरीत कर दी जाए तो दिक्-कोसाइन के चिह्न बदल जाते हैं। इसलिए किसी रेखा के लिए दिक्-कोसाइन के दो समूह होते हैं। रेखा के दिक्-कोसाइन l, m, n से निरूपित होते हैं, जो अक्षों के साथ बने कोणों के कोसाइन होते हैं और इनका वर्ग योग 1 होता है, अर्थात् l² + m² + n² = 1।

रेखा के दिक्-कोसाइन के समानुपाती संख्याओं को दिक्-अनुपात कहते हैं। यदि दिक्-अनुपात a, b, c हैं, तो दिक्-कोसाइन l, m, n निम्नानुसार होंगे:

l = ± a / √(a² + b² + c²), m = ± b / √(a² + b² + c²), n = ± c / √(a² + b² + c²)

यहाँ ± चिह्न रेखा की दिशा के अनुसार होता है। दिक्-अनुपातों के कई समूह हो सकते हैं क्योंकि वे समानुपाती होते हैं।

📊 Diagram: See figure_2: आकृति 11,1

🧪 Activity: छात्रों को दिक्-कोसाइन और दिक्-अनुपात के बीच संबंध समझाने के लिए विभिन्न संख्याओं के समूहों का अभ्यास करने के लिए कहा जाता है।

🔗 Connection: यह खंड दो बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा की दिक्-कोसाइन की व्याख्या से जुड़ता है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

1. यदि एक रेखा $x, y$ और $z$-अक्ष के साथ क्रमशः $90^\circ, 135^\circ, 45^\circ$ के कोण बनाती है तो इसकी दिक्-कोसाइन ज्ञात कीजिए।

दिक्-कोसाइन वे कोसाइन होते हैं जो रेखा द्वारा x, y और z-अक्षों के साथ बनाये गए कोणों के होते हैं।

दी गई कोण हैं: $90^\circ, 135^\circ, 45^\circ$

इसलिए, दिक्-कोसाइन होंगे: \[ \cos 90^\circ = 0, \quad \cos 135^\circ = -\frac{1}{\sqrt{2}}, \quad \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} \]

अतः दिक्-कोसाइन हैं $0, -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}$।

2. एक रेखा की दिक्-कोसाइन ज्ञात कीजिए जो निर्देशांशों के साथ समान कोण बनाती है।

यदि रेखा निर्देशांशों के साथ समान कोण बनाती है, तो सभी कोण बराबर होंगे।

चूंकि दिक्-कोसाइन $l, m, n$ हैं और $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ होता है।

यदि सभी समान हैं, तो $l = m = n = x$ कहें।

तो, $3x^2 = 1 \Rightarrow x^2 = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

अतः दिक्-कोसाइन हैं $\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}$ या उनके ऋणात्मक मान।

3. यदि एक रेखा के दिक्-अनुपात $-18, 12, -4$, हैं तो इसकी दिक्-कोसाइन क्या हैं?

दिए गए दिक्-अनुपात हैं: $-18, 12, -4$

दिक्-कोसाइन निकालने के लिए पहले इनका मान निकालते हैं:

\[ \sqrt{(-18)^2 + 12^2 + (-4)^2} = \sqrt{324 + 144 + 16} = \sqrt{484} = 22 \]

अतः दिक्-कोसाइन होंगे:

\[ \frac{-18}{22} = -\frac{9}{11}, \quad \frac{12}{22} = \frac{6}{11}, \quad \frac{-4}{22} = -\frac{2}{11} \]

अतः दिक्-कोसाइन हैं $-\frac{9}{11}, \frac{6}{11}, -\frac{2}{11}$।

4. दर्शाइए कि बिंदु $(2, 3, 4), (-1, -2, 1), (5, 8, 7)$ सरेख हैं।

बिंदु हैं: $A(2,3,4), B(-1,-2,1), C(5,8,7)$

सरेखता जांचने के लिए, देखें कि $\overrightarrow{AB}$ और $\overrightarrow{BC}$ सदिश अनुपात में हैं या नहीं।

\[ \overrightarrow{AB} = B - A = (-1 - 2, -2 - 3, 1 - 4) = (-3, -5, -3) \]

\[ \overrightarrow{BC} = C - B = (5 + 1, 8 + 2, 7 - 1) = (6, 10, 6) \]

अब देखें कि क्या $\overrightarrow{BC} = k \overrightarrow{AB}$ के लिए कोई वास्तविक संख्या $k$ है:

\[ \frac{6}{-3} = -2, \quad \frac{10}{-5} = -2, \quad \frac{6}{-3} = -2 \]

सभी अनुपात समा

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