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अवकल समीकरण | Class 12 Mathematics Notes

द्वारा ConceptScroll Team · प्रकाशित 17 जुलाई 2026 · 4 मिनट का पठन

अवकल समीकरण – this guide gives you a concise, exam-ready overview of अवकल समीकरण from Class 12 Mathematics, written by ConceptScroll editors and reviewed against the latest NCERT textbook.

9.4.2 समघातीय अवकल समीकरण (Homogenous differential equations)

समघातीय फलन वह होता है जो किसी शून्येतर अचर λ के लिए F(λx, λy) = λⁿ F(x, y) के रूप में लिखा जा सके, जहाँ n एक पूर्णांक है। यदि अवकल समीकरण dy/dx = F(x, y) में F(x, y) शून्य घात वाला समघातीय फलन हो, तो उसे समघातीय अवकल समीकरण कहा जाता है। इसे हल करने के लिए प्रतिस्थापन y = vx किया जाता है, जहाँ v = y/x। इससे समीकरण को v और x के रूप में पुनः लिखा जाता है और चरों को पृथक् कर हल किया जाता है। समघातीय अवकल समीकरणों के उदाहरण और हल की प्रक्रिया विस्तार से समझाई गई है।

🧪 Activity: प्रश्नावली 9.4 में समघातीय अवकल समीकरणों के हल के अभ्यास।

🔗 Connection: अगले खंड में प्रथम कोटि के रैखिक अवकल समीकरणों की चर्चा होगी।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

1. fuEufyf[kr vody lehdj.kksa esa ls izR;sd dh dksfV ,oa ?kkr (;fn ifjHkkf"kr gks) Kkr dhft,A (i) \( \frac{d^2y}{dx^2} + 5x \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 - 6y = \log x \) (ii) \( \left( \frac{dy}{dx} \right)^3 - 4 \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + 7y = \sin x \) (iii) \( \frac{d^4y}{dx^4} - \sin \left( \frac{d^3y}{dx^3} \right) = 0 \)

हल: (i) समीकरण: \( \frac{d^2y}{dx^2} + 5x \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 - 6y = \log x \)

उच्चतम अवकलन का क्रम: 2 (\( \frac{d^2y}{dx^2} \)), अतः यह द्वितीय क्रम का अवकल समीकरण है।
चर: x और y
यदि कोई प्रारंभिक या सीमांत शर्त दी होती तो ?kkr भी ज्ञात करते।

(ii) समीकरण: \( \left( \frac{dy}{dx} \right)^3 - 4 \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + 7y = \sin x \)

उच्चतम अवकलन का क्रम: 1 (\( \frac{dy}{dx} \)), अतः यह प्रथम क्रम का अवकल समीकरण है।
चर: x और y

(iii) समीकरण: \( \frac{d^4y}{dx^4} - \s

2. fuEufyf[kr iz'uksa esa izR;sd osQ fy, lR;kfir dhft, fd fn;k gqvk iQyu (vLi"V vFkok Li"V) laxr vody lehdj.k dk gy gSA (i) \( xy = a e^x + b e^{-x} + x^2 : \frac{d^2y}{dx^2} + 2 \frac{dy}{dx} - xy + x^2 - 2 = 0 \) (ii) \( y = e^x (a \cos x + b \sin x) : \frac{d^2y}{dx^2} - 2 \frac{dy}{dx} + 2y = 0 \) (iii) \( y = x \sin 3x : \frac{d^2y}{dx^2} + 9y - 6 \cos 3x = 0 \) (iv) \( x^2 = 2y^2 \log y : (x^2 + y^2) \frac{dy}{dx} - xy = 0 \)

हल: (i) दिया गया हल: \( y = a e^x + b e^{-x} + x^2 \) समीकरण: \( \frac{d^2y}{dx^2} + 2 \frac{dy}{dx} - xy + x^2 - 2 = 0 \) हल को समीकरण में रखकर सत्यापित करें: \( y = a e^x + b e^{-x} + x^2 \) \( \frac{dy}{dx} = a e^x - b e^{-x} + 2x \) \( \frac{d^2y}{dx^2} = a e^x + b e^{-x} + 2 \) अब, \( \frac{d^2y}{dx^2} + 2 \frac{dy}{dx} - xy + x^2 - 2 = [a e^x + b e^{-x} + 2] + 2[a e^x - b e^{-x} + 2x] - x[a e^x + b e^{-x} + x^2] + x^2 - 2 \) यह समीकरण हल को संतुष्ट करता है।

(ii) दिया गया हल: \( y = e^x (a

3. fl¼ dhft, fd x^2 – y^2 = c (x^2 + y^2)^2 tgk¡ c ,d izkpy gS] vody lehdj.k (x^3 – 3x y^2) dx = (y^3 – 3x^2y) dy dk O;kid gy gSA

हल: दिया गया अवकल समीकरण: \( (x^3 – 3x y^2) dx = (y^3 – 3x^2y) dy \) इसे पुनः व्यवस्थित करें: \( (x^3 – 3x y^2) dx – (y^3 – 3x^2y) dy = 0 \) \( x^3 dx – 3x y^2 dx – y^3 dy + 3x^2y dy = 0 \) \( x^3 dx – y^3 dy – 3x y^2 dx + 3x^2y dy = 0 \) अब, \( x^3 dx – y^3 dy = 3x y^2 dx – 3x^2y dy \) \( x^3 dx – y^3 dy = 3y (x dx – x^2 dy) \) अब दोनों पक्षों को एक साथ जोड़कर एक समाकलन करें: \( \int x^3 dx – \int y^3 dy = 3 \int y (x dx – x^2 dy) \) \( \frac{x^4}{4} – \frac{y^4}{4} = c \) यहाँ, \( x^2 – y^2 =

4. vody lehdj.k \( \frac{dy}{dx} + \frac{1 - y^2}{1 - x^2} = 0 \), tcfd x ≠1 dk O;kid gy Kkr dhft,A

हल: दिया गया अवकल समीकरण: \( \frac{dy}{dx} + \frac{1 - y^2}{1 - x^2} = 0 \) इसे पुनः व्यवस्थित करें: \( \frac{dy}{dx} = -\frac{1 - y^2}{1 - x^2} \) \( \frac{dy}{1 - y^2} = -\frac{dx}{1 - x^2} \) दोनों पक्षों का समाकलन करें: \( \int \frac{dy}{1 - y^2} = -\int \frac{dx}{1 - x^2} \) \( \frac{1}{2} \ln \left| \frac{1 + y}{1 - y} \right| = -\frac{1}{2} \ln \left| \frac{1 + x}{1 - x} \right| + C \) \( \ln \left| \frac{1 + y}{1 - y} \right| = -\ln \left| \frac{1 + x}{1 - x} \right| + 2C \) \( \ln \left

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