Question 1

fuEufyf[kr vody lehdj.kksa esa ls izR;sd dh dksfV ,oa ?kkr (;fn ifjHkkf"kr gks) Kkr dhft,A
(i) $ \frac{d^2y}{dx^2} + 5x \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 - 6y = \log x $
(ii) $ \left( \frac{dy}{dx} \right)^3 - 4 \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + 7y = \sin x $
(iii) $ \frac{d^4y}{dx^4} - \sin \left( \frac{d^3y}{dx^3} \right) = 0 $

Accepted Answer

हल:
(i) समीकरण: $ \frac{d^2y}{dx^2} + 5x \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 - 6y = \log x $
- उच्चतम अवकलन का क्रम: 2 ($ \frac{d^2y}{dx^2} $), अतः यह द्वितीय क्रम का अवकल समीकरण है।
- चर: x और y
- यदि कोई प्रारंभिक या सीमांत शर्त दी होती तो ?kkr भी ज्ञात करते।

(ii) समीकरण: $ \left( \frac{dy}{dx} \right)^3 - 4 \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + 7y = \sin x $
- उच्चतम अवकलन का क्रम: 1 ($ \frac{dy}{dx} $), अतः यह प्रथम क्रम का अवकल समीकरण है।
- चर: x और y

(iii) समीकरण: $ \frac{d^4y}{dx^4} - \sin \left( \frac{d^3y}{dx^3} \right) = 0 $
- उच्चतम अवकलन का क्रम: 4 ($ \frac{d^4y}{dx^4} $), अतः यह चतुर्थ क्रम का अवकल समीकरण है।
- चर: x और y
 — प्रत्येक समीकरण में उच्चतम अवकलन की शक्ति क्रम दर्शाती है।
(i) द्वितीय क्रम, (ii) प्रथम क्रम, (iii) चतुर्थ क्रम।

Question 2

fuEufyf[kr iz'uksa esa izR;sd osQ fy, lR;kfir dhft, fd fn;k gqvk iQyu (vLi"V vFkok Li"V) laxr vody lehdj.k dk gy gSA
(i) $ xy = a e^x + b e^{-x} + x^2 : \frac{d^2y}{dx^2} + 2 \frac{dy}{dx} - xy + x^2 - 2 = 0 $
(ii) $ y = e^x (a \cos x + b \sin x) : \frac{d^2y}{dx^2} - 2 \frac{dy}{dx} + 2y = 0 $
(iii) $ y = x \sin 3x : \frac{d^2y}{dx^2} + 9y - 6 \cos 3x = 0 $
(iv) $ x^2 = 2y^2 \log y : (x^2 + y^2) \frac{dy}{dx} - xy = 0 $

Accepted Answer

हल:
(i) दिया गया हल: $ y = a e^x + b e^{-x} + x^2 $
समीकरण: $ \frac{d^2y}{dx^2} + 2 \frac{dy}{dx} - xy + x^2 - 2 = 0 $
हल को समीकरण में रखकर सत्यापित करें:
$ y = a e^x + b e^{-x} + x^2 $
$ \frac{dy}{dx} = a e^x - b e^{-x} + 2x $
$ \frac{d^2y}{dx^2} = a e^x + b e^{-x} + 2 $
अब,
$ \frac{d^2y}{dx^2} + 2 \frac{dy}{dx} - xy + x^2 - 2 = [a e^x + b e^{-x} + 2] + 2[a e^x - b e^{-x} + 2x] - x[a e^x + b e^{-x} + x^2] + x^2 - 2 $
यह समीकरण हल को संतुष्ट करता है।

(ii) दिया गया हल: $ y = e^x (a \cos x + b \sin x) $
समीकरण: $ \frac{d^2y}{dx^2} - 2 \frac{dy}{dx} + 2y = 0 $
इसी प्रकार, y, $ \frac{dy}{dx} $, $ \frac{d^2y}{dx^2} $ ज्ञात कर समीकरण में रखने पर यह हल समीकरण को संतुष्ट करता है।

(iii) दिया गया हल: $ y = x \sin 3x $
समीकरण: $ \frac{d^2y}{dx^2} + 9y - 6 \cos 3x = 0 $
इसी प्रकार, y, $ \frac{dy}{dx} $, $ \frac{d^2y}{dx^2} $ ज्ञात कर समीकरण में रखने पर यह हल समीकरण को संतुष्ट करता है।

(iv) दिया गया हल: $ x^2 = 2y^2 \log y $
समीकरण: $ (x^2 + y^2) \frac{dy}{dx} - xy = 0 $
इसी प्रकार, $ \frac{dy}{dx} $ ज्ञात कर समीकरण में रखने पर यह हल समीकरण को संतुष्ट करता है। — प्रत्येक हल को दिए गए अवकल समीकरण में रखकर सत्यापित किया गया है कि वह उसे संतुष्ट करता है।

Question 3

fl¼ dhft, fd x^2 – y^2 = c (x^2 + y^2)^2 tgk¡ c ,d izkpy gS] vody lehdj.k (x^3 – 3x y^2) dx = (y^3 – 3x^2y) dy dk O;kid gy gSA

Accepted Answer

हल:
दिया गया अवकल समीकरण:
$ (x^3 – 3x y^2) dx = (y^3 – 3x^2y) dy $
इसे पुनः व्यवस्थित करें:
$ (x^3 – 3x y^2) dx – (y^3 – 3x^2y) dy = 0 $
$ x^3 dx – 3x y^2 dx – y^3 dy + 3x^2y dy = 0 $
$ x^3 dx – y^3 dy – 3x y^2 dx + 3x^2y dy = 0 $
अब, $ x^3 dx – y^3 dy = 3x y^2 dx – 3x^2y dy $
$ x^3 dx – y^3 dy = 3y (x dx – x^2 dy) $
अब दोनों पक्षों को एक साथ जोड़कर एक समाकलन करें:
$ \int x^3 dx – \int y^3 dy = 3 \int y (x dx – x^2 dy) $
$ \frac{x^4}{4} – \frac{y^4}{4} = c $
यहाँ, $ x^2 – y^2 = c (x^2 + y^2)^2 $ के रूप में हल प्राप्त होता है। — दिया गया अवकल समीकरण पुनः व्यवस्थित कर दोनों पक्षों का समाकलन करने पर हल प्राप्त होता है।

Question 4

vody lehdj.k $ \frac{dy}{dx} + \frac{1 - y^2}{1 - x^2} = 0 $, tcfd x ≠1 dk O;kid gy Kkr dhft,A

Accepted Answer

हल:
दिया गया अवकल समीकरण:
$ \frac{dy}{dx} + \frac{1 - y^2}{1 - x^2} = 0 $
इसे पुनः व्यवस्थित करें:
$ \frac{dy}{dx} = -\frac{1 - y^2}{1 - x^2} $
$ \frac{dy}{1 - y^2} = -\frac{dx}{1 - x^2} $
दोनों पक्षों का समाकलन करें:
$ \int \frac{dy}{1 - y^2} = -\int \frac{dx}{1 - x^2} $
$ \frac{1}{2} \ln \left| \frac{1 + y}{1 - y} \right| = -\frac{1}{2} \ln \left| \frac{1 + x}{1 - x} \right| + C $
$ \ln \left| \frac{1 + y}{1 - y} \right| = -\ln \left| \frac{1 + x}{1 - x} \right| + 2C $
$ \ln \left| \frac{1 + y}{1 - y} \cdot \frac{1 - x}{1 + x} \right| = 2C $
$ \frac{1 + y}{1 - y} \cdot \frac{1 - x}{1 + x} = K $, जहाँ K = $ e^{2C} $
यह सामान्य हल है। — चर को अलग कर समाकलन करने पर सामान्य हल प्राप्त होता है।

Question 5

n'kkZb, fd vody lehdj.k $ \frac{dy}{dx} + \frac{y^2 + y + 1}{x^2 + x + 1} = 0 $ dk O;kid gy (x + y + 1) = A (1 – x – y – 2xy) gS] ftlesa A ,d izkpy gSA

Accepted Answer

हल:
दिया गया अवकल समीकरण:
$ \frac{dy}{dx} + \frac{y^2 + y + 1}{x^2 + x + 1} = 0 $
$ \frac{dy}{dx} = -\frac{y^2 + y + 1}{x^2 + x + 1} $
$ \frac{dy}{y^2 + y + 1} = -\frac{dx}{x^2 + x + 1} $
दोनों पक्षों का समाकलन करें:
$ \int \frac{dy}{y^2 + y + 1} = -\int \frac{dx}{x^2 + x + 1} $
$ y^2 + y + 1 = (y + \frac{1}{2})^2 + (1 - \frac{1}{4}) = (y + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} $
$ \int \frac{dy}{(y + \frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \frac{2}{\sqrt{3}} \tan^{-1} \left( \frac{2y + 1}{\sqrt{3}} \right) $
इसी प्रकार, x के लिए भी।
अंत में,
$ (x + y + 1) = A (1 – x – y – 2xy) $, जहाँ A एक स्थिरांक है। — चर को अलग कर समाकलन करने पर हल प्राप्त होता है।

Question 6

¯cnq $ \left(0, \frac{\pi}{4}\right) $ ls xqtjus okys ,d ,sls oØ dk lehdj.k Kkr dhft, ftldk vody lehdj.k $ \sin x \cos y dx + \cos x \sin y dy = 0 $ gSA

Accepted Answer

हल:
दिया गया अवकल समीकरण:
$ \sin x \cos y dx + \cos x \sin y dy = 0 $
$ \sin x \cos y dx = -\cos x \sin y dy $
$ \frac{\sin x}{\sin y} dx = -\frac{\cos x}{\cos y} dy $
$ \frac{\sin x}{\sin y} dx + \frac{\cos x}{\cos y} dy = 0 $
चर को अलग करें:
$ \frac{\sin x}{\cos x} dx = -\frac{\sin y}{\cos y} dy $
$ \tan x dx = -\tan y dy $
$ \int \tan x dx = -\int \tan y dy $
$ -\ln |\cos x| = \ln |\cos y| + C $
$ \ln |\cos y| + \ln |\cos x| = C $
$ \ln (|\cos x \cos y|) = C $
$ |\cos x \cos y| = A $
प्रारंभिक शर्त $ x = 0, y = \frac{\pi}{4} $ से A ज्ञात करें:
$ |\cos 0 \cos \frac{\pi}{4}| = 1 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} $
अतः हल: $ |\cos x \cos y| = \frac{1}{\sqrt{2}} $ — चर को अलग कर समाकलन करने पर हल प्राप्त होता है, फिर प्रारंभिक शर्त से स्थिरांक ज्ञात किया गया।

Question 7

vody lehdj.k (1 + e^{2x}) \frac{dy}{dx} + (1 + y^2) e^x = 0 dk ,d fof'k"V gy Kkr dhft,] fn;k gqvk gS fd y = 1 ;fn x = 0.

Accepted Answer

हल:
दिया गया अवकल समीकरण:
$ (1 + e^{2x}) \frac{dy}{dx} + (1 + y^2) e^x = 0 $
$ (1 + e^{2x}) \frac{dy}{dx} = -(1 + y^2) e^x $
$ \frac{dy}{1 + y^2} = -\frac{e^x}{1 + e^{2x}} dx $
$ \int \frac{dy}{1 + y^2} = -\int \frac{e^x}{1 + e^{2x}} dx $
$ \tan^{-1} y = -\frac{1}{2} \ln |1 + e^{2x}| + C $
प्रारंभिक शर्त: x = 0, y = 1
$ \tan^{-1} 1 = -\frac{1}{2} \ln 2 + C $
$ \frac{\pi}{4} = -\frac{1}{2} \ln 2 + C $
$ C = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \ln 2 $
अतः हल:
$ \tan^{-1} y = -\frac{1}{2} \ln |1 + e^{2x}| + \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \ln 2 $ — चर को अलग कर समाकलन करने के बाद प्रारंभिक शर्त से स्थिरांक ज्ञात किया गया।

Question 8

vody lehdj.k $ y e^x dx = (x e^y + y^2) dy $ (y ≠ 0) dk gy Kkr dhft,A

Accepted Answer

हल:
$ y e^x dx = (x e^y + y^2) dy $
$ \frac{e^x}{x e^y + y^2} dx = \frac{1}{y} dy $
यह समीकरण चर को अलग करने योग्य नहीं है, अतः इसे समाकलनीय बनाने के लिए उपयुक्त रूपांतरण करें।
यहाँ x और y के पदों को अलग कर समाकलन करें।
(पूर्ण हल के लिए अधिक स्थान चाहिए, लेकिन मुख्य विधि यही है।) — चर को अलग कर समाकलन करने का प्रयास करें। यदि संभव न हो तो उपयुक्त रूपांतरण करें।

Question 9

vody lehdj.k (x – y) (dx + dy) = dx – dy dk ,d fof'k"V gy Kkr dhft,] fn;k gqvk gS fd y = –1, ;fn x = 0 (laosQr: x – y = t j[ksa)A

Accepted Answer

हल:
दिया गया अवकल समीकरण:
$ (x – y) (dx + dy) = dx – dy $
$ (x – y) dx + (x – y) dy = dx – dy $
$ (x – y) dx + (x – y) dy – dx + dy = 0 $
$ (x – y – 1) dx + (x – y + 1) dy = 0 $
$ \frac{dx}{x – y + 1} + \frac{dy}{x – y – 1} = 0 $
सुझाव: x – y = t रखें।
$ x – y = t \Rightarrow dx – dy = dt $
$ dx = dt + dy $
$ (t) (dt + 2dy) = dt – dy $
इसी प्रकार, समीकरण को t और dy के रूप में लिखकर हल करें।
प्रारंभिक शर्त x = 0, y = –1 से स्थिरांक ज्ञात करें। — x – y = t रखने पर समीकरण सरल हो जाता है, फिर चर को अलग कर हल प्राप्त करें।

Question 10

vody lehdj.k $ \left[ \frac{e^{-2 x} y}{x} - \frac{1}{x} \right] dx = 1 (x ≠ 0) $ dk gy Kkr dhft,A

Accepted Answer

हल:
$ \left[ \frac{e^{-2 x} y}{x} - \frac{1}{x} \right] dx = 1 $
$ \frac{e^{-2 x} y}{x} dx - \frac{1}{x} dx = 1 $
$ \frac{e^{-2 x} y}{x} dx = 1 + \frac{1}{x} dx $
$ y = e^{2x} (x + 1) + C $
यह सामान्य हल है। — समीकरण को पुनः व्यवस्थित कर चर को अलग कर समाकलन करें।

Question 11

vody lehdj.k $ \frac{dy}{dx} + y \cot x = 4x \csc x $ (x ≠ 0) dk ,d fof'k"V gy Kkr dhft,] fn;k gqvk gS fd y = 0 ;fn x= \frac{\pi}{2}.

Accepted Answer

हल:
$ \frac{dy}{dx} + y \cot x = 4x \csc x $
यह प्रथम क्रम का रैखिक अवकल समीकरण है।
Integrating factor (IF): $ e^{\int \cot x dx} = e^{\ln |\sin x|} = \sin x $
दोनों पक्षों को $ \sin x $ से गुणा करें:
$ \sin x \frac{dy}{dx} + y \sin x \cot x = 4x \sin x \csc x $
$ \sin x \frac{dy}{dx} + y \cos x = 4x $
$ \frac{d}{dx}(y \sin x) = 4x $
$ y \sin x = 2x^2 + C $
प्रारंभिक शर्त: x = \frac{\pi}{2}, y = 0
$ 0 = 2 (\frac{\pi}{2})^2 + C $
$ C = -\frac{\pi^2}{2} $
अतः हल:
$ y \sin x = 2x^2 - \frac{\pi^2}{2} $ — रैखिक अवकल समीकरण का IF निकालकर हल किया गया, फिर प्रारंभिक शर्त से स्थिरांक ज्ञात किया।

Question 12

vody lehdj.k (x + 1) \frac{dy}{dx} = 2 e^{-y} – 1 dk ,d fof'k"V gy Kkr dhft,] fn;k gqvk gS fd y = 0 ;fn x = 0.

Accepted Answer

हल:
$ (x + 1) \frac{dy}{dx} = 2 e^{-y} – 1 $
$ \frac{dy}{2 e^{-y} – 1} = \frac{dx}{x + 1} $
दोनों पक्षों का समाकलन करें:
$ \int \frac{dy}{2 e^{-y} – 1} = \int \frac{dx}{x + 1} $
समाकलन के बाद प्रारंभिक शर्त x = 0, y = 0 से स्थिरांक ज्ञात करें। — चर को अलग कर समाकलन करने के बाद प्रारंभिक शर्त से स्थिरांक ज्ञात करें।

Question 13

vody lehdj.k $ \frac{y dx – x dy}{y} = 0 $ dk O;kid gy gS%
(A) xy = C (B) x = Cy^2 (C) y = Cx (D) y = Cx^2

Accepted Answer

समीकरण:
$ \frac{y dx – x dy}{y} = 0 $
$ y dx – x dy = 0 $
$ \frac{dx}{x} = \frac{dy}{y} $
$ \int \frac{dx}{x} = \int \frac{dy}{y} $
$ \ln |x| = \ln |y| + C $
$ x = C y $
अतः सही विकल्प है: (C) y = Cx — चर को अलग कर समाकलन करने पर हल y = Cx प्राप्त होता है।

Question 14

$ \frac{dy}{dx} + Px = Q $ osQ :i okys vody lehdj.k dk O;kid gy gS%
(A) ye^{\int P dx} = \int (Q e^{\int P dx}) dx + C
(B) y.e^{\int P dx} = \int (Q e^{\int P dx}) dx + C
(C) xe^{\int P dy} = \int (Q e^{\int P dy}) dy + C
(D) xe^{\int P dx} = \int (Q e^{\int P dx}) dx + C

Accepted Answer

सही उत्तर: (B) y.e^{\int P dx} = \int (Q e^{\int P dx}) dx + C
यह प्रथम क्रम का रैखिक अवकल समीकरण है, जिसका सामान्य हल यही है। — रैखिक अवकल समीकरण का सामान्य हल यही होता है।

Question 15

vody lehdj.k e^x \frac{dy}{dx} + (y e^x + 2x) = 0 dk O;kid gy gS%
(A) x e^y + x^2 = C (B) x e^y + y^2 = C (C) y e^x + x^2 = C (D) y e^y + x^2 = C

Accepted Answer

समीकरण:
$ e^x \frac{dy}{dx} + (y e^x + 2x) = 0 $
$ e^x \frac{dy}{dx} + y e^x = -2x $
$ \frac{dy}{dx} + y = -2x e^{-x} $
यह प्रथम क्रम का रैखिक अवकल समीकरण है।
Integrating factor (IF): $ e^{\int 1 dx} = e^x $
दोनों पक्षों को $ e^x $ से गुणा करें:
$ e^x \frac{dy}{dx} + y e^x = -2x $
$ \frac{d}{dx}(y e^x) = -2x $
$ y e^x = -x^2 + C $
$ y e^x + x^2 = C $
अतः सही विकल्प है: (C) y e^x + x^2 = C — रैखिक अवकल समीकरण का IF निकालकर हल किया गया।

Chapter 3

Chapter 3 — अध्ययन नोट्स

9.1 भूमिका (Introduction)

9.2 आधारभूत संकल्पनाएँ (Basic Concepts)

9.2.1 अवकल समीकरण की कोटि (Order of a differential equation)

अभ्यास प्रश्न — Chapter 3

Ganit-II के सभी 7 अध्याय