Mathematicsकक्षा 12अवकल समीकरणहिंदी

अवकल समीकरण | Class 12 Mathematics Notes

द्वारा ConceptScroll Team · प्रकाशित 17 जुलाई 2026 · 4 मिनट का पठन

अवकल समीकरण – this guide gives you a concise, exam-ready overview of अवकल समीकरण from Class 12 Mathematics, written by ConceptScroll editors and reviewed against the latest NCERT textbook.

9.3 अवकल समीकरण का व्यापक एवं विशिष्ट हल (General and Particular Solutions of a Differential Equation)

किसी अवकल समीकरण का हल वह फलन होता है जो उस समीकरण को संतुष्ट करता है। व्यापक हल वह होता है जिसमें समीकरण की कोटि के अनुसार स्वेच्छ अचर (constants) उपस्थित होते हैं। विशिष्ट हल वह होता है जिसमें स्वेच्छ अचरों को विशिष्ट मान देकर प्राप्त हल होता है। उदाहरण के लिए, द्वितीय कोटि के अवकल समीकरण d²y/dx² + y = 0 का व्यापक हल y = a sin(x + b) है, जहाँ a और b स्वेच्छ अचर हैं। यदि a और b को विशिष्ट मान दिए जाएं, तो विशिष्ट हल प्राप्त होता है। किसी फलन के अवकलजों को समीकरण में प्रतिस्थापित कर यह सत्यापित किया जा सकता है कि वह हल है या नहीं।

🧪 Activity: प्रश्नावली 9.2 में विभिन्न फलनों के अवकल समीकरण के हल होने की जांच।

🔗 Connection: अगले खंड में प्रथम कोटि एवं प्रथम घात के अवकल समीकरणों को हल करने की विधियाँ समझाई जाएंगी।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

1. fuEufyf[kr vody lehdj.kksa esa ls izR;sd dh dksfV ,oa ?kkr (;fn ifjHkkf"kr gks) Kkr dhft,A (i) \( \frac{d^2y}{dx^2} + 5x \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 - 6y = \log x \) (ii) \( \left( \frac{dy}{dx} \right)^3 - 4 \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + 7y = \sin x \) (iii) \( \frac{d^4y}{dx^4} - \sin \left( \frac{d^3y}{dx^3} \right) = 0 \)

हल: (i) समीकरण: \( \frac{d^2y}{dx^2} + 5x \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 - 6y = \log x \)

उच्चतम अवकलन का क्रम: 2 (\( \frac{d^2y}{dx^2} \)), अतः यह द्वितीय क्रम का अवकल समीकरण है।
चर: x और y
यदि कोई प्रारंभिक या सीमांत शर्त दी होती तो ?kkr भी ज्ञात करते।

(ii) समीकरण: \( \left( \frac{dy}{dx} \right)^3 - 4 \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + 7y = \sin x \)

उच्चतम अवकलन का क्रम: 1 (\( \frac{dy}{dx} \)), अतः यह प्रथम क्रम का अवकल समीकरण है।
चर: x और y

(iii) समीकरण: \( \frac{d^4y}{dx^4} - \s

2. fuEufyf[kr iz'uksa esa izR;sd osQ fy, lR;kfir dhft, fd fn;k gqvk iQyu (vLi"V vFkok Li"V) laxr vody lehdj.k dk gy gSA (i) \( xy = a e^x + b e^{-x} + x^2 : \frac{d^2y}{dx^2} + 2 \frac{dy}{dx} - xy + x^2 - 2 = 0 \) (ii) \( y = e^x (a \cos x + b \sin x) : \frac{d^2y}{dx^2} - 2 \frac{dy}{dx} + 2y = 0 \) (iii) \( y = x \sin 3x : \frac{d^2y}{dx^2} + 9y - 6 \cos 3x = 0 \) (iv) \( x^2 = 2y^2 \log y : (x^2 + y^2) \frac{dy}{dx} - xy = 0 \)

हल: (i) दिया गया हल: \( y = a e^x + b e^{-x} + x^2 \) समीकरण: \( \frac{d^2y}{dx^2} + 2 \frac{dy}{dx} - xy + x^2 - 2 = 0 \) हल को समीकरण में रखकर सत्यापित करें: \( y = a e^x + b e^{-x} + x^2 \) \( \frac{dy}{dx} = a e^x - b e^{-x} + 2x \) \( \frac{d^2y}{dx^2} = a e^x + b e^{-x} + 2 \) अब, \( \frac{d^2y}{dx^2} + 2 \frac{dy}{dx} - xy + x^2 - 2 = [a e^x + b e^{-x} + 2] + 2[a e^x - b e^{-x} + 2x] - x[a e^x + b e^{-x} + x^2] + x^2 - 2 \) यह समीकरण हल को संतुष्ट करता है।

(ii) दिया गया हल: \( y = e^x (a

3. fl¼ dhft, fd x^2 – y^2 = c (x^2 + y^2)^2 tgk¡ c ,d izkpy gS] vody lehdj.k (x^3 – 3x y^2) dx = (y^3 – 3x^2y) dy dk O;kid gy gSA

हल: दिया गया अवकल समीकरण: \( (x^3 – 3x y^2) dx = (y^3 – 3x^2y) dy \) इसे पुनः व्यवस्थित करें: \( (x^3 – 3x y^2) dx – (y^3 – 3x^2y) dy = 0 \) \( x^3 dx – 3x y^2 dx – y^3 dy + 3x^2y dy = 0 \) \( x^3 dx – y^3 dy – 3x y^2 dx + 3x^2y dy = 0 \) अब, \( x^3 dx – y^3 dy = 3x y^2 dx – 3x^2y dy \) \( x^3 dx – y^3 dy = 3y (x dx – x^2 dy) \) अब दोनों पक्षों को एक साथ जोड़कर एक समाकलन करें: \( \int x^3 dx – \int y^3 dy = 3 \int y (x dx – x^2 dy) \) \( \frac{x^4}{4} – \frac{y^4}{4} = c \) यहाँ, \( x^2 – y^2 =

4. vody lehdj.k \( \frac{dy}{dx} + \frac{1 - y^2}{1 - x^2} = 0 \), tcfd x ≠1 dk O;kid gy Kkr dhft,A

हल: दिया गया अवकल समीकरण: \( \frac{dy}{dx} + \frac{1 - y^2}{1 - x^2} = 0 \) इसे पुनः व्यवस्थित करें: \( \frac{dy}{dx} = -\frac{1 - y^2}{1 - x^2} \) \( \frac{dy}{1 - y^2} = -\frac{dx}{1 - x^2} \) दोनों पक्षों का समाकलन करें: \( \int \frac{dy}{1 - y^2} = -\int \frac{dx}{1 - x^2} \) \( \frac{1}{2} \ln \left| \frac{1 + y}{1 - y} \right| = -\frac{1}{2} \ln \left| \frac{1 + x}{1 - x} \right| + C \) \( \ln \left| \frac{1 + y}{1 - y} \right| = -\ln \left| \frac{1 + x}{1 - x} \right| + 2C \) \( \ln \left

इस अध्याय में महारत हासिल करें

पूरा अवकल समीकरण अध्याय — इंटरैक्टिव नोट्स, चित्र, हल किए गए प्रश्न, पोल्स और मुफ़्त अभ्यास क्विज़ — ConceptScroll ऐप में।

ConceptScroll में खोलें →

ConceptScroll के साथ स्मार्ट पढ़ें

रोज़ाना एनसीईआरटी रील्स, एआई डाउट सॉल्विंग और अध्याय क्विज़ — सब मुफ़्त।

मुफ़्त सीखना शुरू करें

#cbse notes#class 12#mathematics#ncert