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अवकल समीकरण | Class 12 Mathematics Notes

द्वारा ConceptScroll Team · प्रकाशित 17 जुलाई 2026 · 4 मिनट का पठन

अवकल समीकरण – this guide gives you a concise, exam-ready overview of अवकल समीकरण from Class 12 Mathematics, written by ConceptScroll editors and reviewed against the latest NCERT textbook.

9.4.3 रैखिक अवकल समीकरण (Linear differential equations)

प्रथम कोटि के रैखिक अवकल समीकरण का सामान्य रूप dy/dx + P y = Q होता है, जहाँ P और Q स्वतंत्र चर x के फलन या स्थिरांक हो सकते हैं। इसे हल करने के लिए समाकलन गुणक (Integrating Factor - I.F.) का उपयोग किया जाता है, जो g(x) = e^{∫ P dx} होता है। समीकरण के दोनों पक्षों को I.F. से गुणा करने पर बायाँ पक्ष y g(x) का अवकलज बन जाता है। फिर दोनों पक्षों का समाकलन कर हल प्राप्त किया जाता है। इसी प्रकार dx/dy + P₁ x = Q₁ के लिए भी इसी विधि का प्रयोग होता है। इस खंड में रैखिक अवकल समीकरणों को हल करने की प्रक्रिया विस्तार से समझाई गई है और कई उदाहरणों के माध्यम से इसे स्पष्ट किया गया है।

🧪 Activity: प्रश्नावली 9.5 में रैखिक अवकल समीकरणों के हल के अभ्यास।

🔗 Connection: अगले खंड में अध्याय का सारांश एवं प्रश्नावली दी गई है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

1. fuEufyf[kr vody lehdj.kksa esa ls izR;sd dh dksfV ,oa ?kkr (;fn ifjHkkf"kr gks) Kkr dhft,A (i) \( \frac{d^2y}{dx^2} + 5x \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 - 6y = \log x \) (ii) \( \left( \frac{dy}{dx} \right)^3 - 4 \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + 7y = \sin x \) (iii) \( \frac{d^4y}{dx^4} - \sin \left( \frac{d^3y}{dx^3} \right) = 0 \)

हल: (i) समीकरण: \( \frac{d^2y}{dx^2} + 5x \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 - 6y = \log x \)

उच्चतम अवकलन का क्रम: 2 (\( \frac{d^2y}{dx^2} \)), अतः यह द्वितीय क्रम का अवकल समीकरण है।
चर: x और y
यदि कोई प्रारंभिक या सीमांत शर्त दी होती तो ?kkr भी ज्ञात करते।

(ii) समीकरण: \( \left( \frac{dy}{dx} \right)^3 - 4 \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + 7y = \sin x \)

उच्चतम अवकलन का क्रम: 1 (\( \frac{dy}{dx} \)), अतः यह प्रथम क्रम का अवकल समीकरण है।
चर: x और y

(iii) समीकरण: \( \frac{d^4y}{dx^4} - \s

2. fuEufyf[kr iz'uksa esa izR;sd osQ fy, lR;kfir dhft, fd fn;k gqvk iQyu (vLi"V vFkok Li"V) laxr vody lehdj.k dk gy gSA (i) \( xy = a e^x + b e^{-x} + x^2 : \frac{d^2y}{dx^2} + 2 \frac{dy}{dx} - xy + x^2 - 2 = 0 \) (ii) \( y = e^x (a \cos x + b \sin x) : \frac{d^2y}{dx^2} - 2 \frac{dy}{dx} + 2y = 0 \) (iii) \( y = x \sin 3x : \frac{d^2y}{dx^2} + 9y - 6 \cos 3x = 0 \) (iv) \( x^2 = 2y^2 \log y : (x^2 + y^2) \frac{dy}{dx} - xy = 0 \)

हल: (i) दिया गया हल: \( y = a e^x + b e^{-x} + x^2 \) समीकरण: \( \frac{d^2y}{dx^2} + 2 \frac{dy}{dx} - xy + x^2 - 2 = 0 \) हल को समीकरण में रखकर सत्यापित करें: \( y = a e^x + b e^{-x} + x^2 \) \( \frac{dy}{dx} = a e^x - b e^{-x} + 2x \) \( \frac{d^2y}{dx^2} = a e^x + b e^{-x} + 2 \) अब, \( \frac{d^2y}{dx^2} + 2 \frac{dy}{dx} - xy + x^2 - 2 = [a e^x + b e^{-x} + 2] + 2[a e^x - b e^{-x} + 2x] - x[a e^x + b e^{-x} + x^2] + x^2 - 2 \) यह समीकरण हल को संतुष्ट करता है।

(ii) दिया गया हल: \( y = e^x (a

3. fl¼ dhft, fd x^2 – y^2 = c (x^2 + y^2)^2 tgk¡ c ,d izkpy gS] vody lehdj.k (x^3 – 3x y^2) dx = (y^3 – 3x^2y) dy dk O;kid gy gSA

हल: दिया गया अवकल समीकरण: \( (x^3 – 3x y^2) dx = (y^3 – 3x^2y) dy \) इसे पुनः व्यवस्थित करें: \( (x^3 – 3x y^2) dx – (y^3 – 3x^2y) dy = 0 \) \( x^3 dx – 3x y^2 dx – y^3 dy + 3x^2y dy = 0 \) \( x^3 dx – y^3 dy – 3x y^2 dx + 3x^2y dy = 0 \) अब, \( x^3 dx – y^3 dy = 3x y^2 dx – 3x^2y dy \) \( x^3 dx – y^3 dy = 3y (x dx – x^2 dy) \) अब दोनों पक्षों को एक साथ जोड़कर एक समाकलन करें: \( \int x^3 dx – \int y^3 dy = 3 \int y (x dx – x^2 dy) \) \( \frac{x^4}{4} – \frac{y^4}{4} = c \) यहाँ, \( x^2 – y^2 =

4. vody lehdj.k \( \frac{dy}{dx} + \frac{1 - y^2}{1 - x^2} = 0 \), tcfd x ≠1 dk O;kid gy Kkr dhft,A

हल: दिया गया अवकल समीकरण: \( \frac{dy}{dx} + \frac{1 - y^2}{1 - x^2} = 0 \) इसे पुनः व्यवस्थित करें: \( \frac{dy}{dx} = -\frac{1 - y^2}{1 - x^2} \) \( \frac{dy}{1 - y^2} = -\frac{dx}{1 - x^2} \) दोनों पक्षों का समाकलन करें: \( \int \frac{dy}{1 - y^2} = -\int \frac{dx}{1 - x^2} \) \( \frac{1}{2} \ln \left| \frac{1 + y}{1 - y} \right| = -\frac{1}{2} \ln \left| \frac{1 + x}{1 - x} \right| + C \) \( \ln \left| \frac{1 + y}{1 - y} \right| = -\ln \left| \frac{1 + x}{1 - x} \right| + 2C \) \( \ln \left

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