समाकलनों के अनुप्रयोग | Class 12 Mathematics Notes

8.2 साधारण वक्रों के अंतर्गत क्षेत्रफल (Area Under Simple Curves)

इस अनुभाग में वक्र y = f(x), x-अक्ष, और कोटियाँ x = a तथा x = b से घिरे क्षेत्रफल की गणना की विधि विस्तार से समझाई गई है। क्षेत्रफल को बहुत पतली उर्ध्वाधर पट्टियों के योगफल के रूप में माना जाता है। प्रत्येक पट्टी की ऊँचाई y = f(x) और चौड़ाई dx होती है, अतः एक पट्टी का क्षेत्रफल dA = y dx होता है। पूरे क्षेत्रफल को इन पतली पट्टियों के क्षेत्रफल के योग के रूप में लिखा जाता है, जो निश्चित समाकलन के रूप में व्यक्त होता है: क्षेत्रफल A = ∫(a से b) y dx = ∫(a से b) f(x) dx। इसी प्रकार, यदि वक्र x = g(y), y-अक्ष, और रेखाएँ y = c तथा y = d से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करना हो, तो क्षैतिज पट्टियों के योग के रूप में क्षेत्रफल A = ∫(c से d) x dy = ∫(c से d) g(y) dy होगा।

यदि वक्र x-अक्ष के नीचे है, तो समाकलन का मान ऋणात्मक होगा, पर क्षेत्रफल का मान सदैव धनात्मक लिया जाता है, अतः हम समाकलन का निरपेक्ष मान लेते हैं। कभी-कभी वक्र का कुछ भाग x-अक्ष के ऊपर और कुछ भाग नीचे होता है, तब कुल क्षेत्रफल दोनों भागों के क्षेत्रफलों के निरपेक्ष मानों के योग के बराबर होता है। इस अनुभाग में इन अवधारणाओं को चित्रों और सूत्रों के माध्यम से स्पष्ट किया गया है।

📊 Diagram: Figure 8.2, Figure 8.3, Figure 8.4

🧪 Activity: इस अनुभाग में क्षेत्रफल के निर्धारण के लिए वक्र के ऊपर और नीचे के भागों को अलग-अलग समाकलन द्वारा परखा जाता है।

🔗 Connection: यह अनुभाग अगले अनुभागों में वृत्त, दीर्घवृत्त आदि आकृतियों के क्षेत्रफल के समाकलन द्वारा निर्धारण के लिए आधार तैयार करता है।