Question 1

निम्न रेखाओं 3x - 2y + 1 = 0, 2x + 3y = 21, x - 5y + 9 = 0 से घिरे त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या होगा?

Accepted Answer

13/2

Question 2

निम्न वक्रो y=x 2 तथा x=y 2 के बीच घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या होगा ?

Accepted Answer

1/3

Question 3

x 2 +y 2 =25 वृत्त के प्रथम चतुर्थांश का क्षेत्रफल क्या होगा ?

Accepted Answer

25π/ 4

Question 4

रेखा x=4 तथा परवलय y 2 =16x के बीच घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल निम्न से सा होगा ?

Accepted Answer

128/3

Question 5

दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Accepted Answer

दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल = π × a × b जहाँ a और b अर्ध-अक्ष हैं। यहाँ a = 4 और b = 3 हैं। अतः क्षेत्रफल = π × 4 × 3 = 12π। — दीर्घवृत्त का मानक समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ होता है। इसका क्षेत्रफल πab होता है। यहाँ a = 4 और b = 3 हैं। इसलिए क्षेत्रफल = π × 4 × 3 = 12π।

Question 6

दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Accepted Answer

दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल = π × a × b जहाँ a = 2 और b = 3 हैं। अतः क्षेत्रफल = π × 2 × 3 = 6π। — दीर्घवृत्त का मानक समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ होता है। यहाँ a = 2 और b = 3 हैं। इसलिए क्षेत्रफल = π × 2 × 3 = 6π।

Question 7

प्रथम चतुर्थाश में वृत्त $x^{2} + y^{2} = 4$ एवं रेखाओं $x = 0, x = 2$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है:
(A) $\pi$
(B) $\frac{\pi}{2}$
(C) $\frac{\pi}{3}$
(D) $\frac{\pi}{4}$

Accepted Answer

वृत्त का समीकरण है $x^{2} + y^{2} = 4$, जिसका त्रिज्या r = 2 है। प्रथम चतुर्थांश में $x=0$ से $x=2$ तक क्षेत्रफल ज्ञात करना है।

क्षेत्रफल = $\int_{0}^{2} y \, dx = \int_{0}^{2} \sqrt{4 - x^{2}} \, dx$

यह ज्ञात समाकलन है, जिसका मान $\frac{r^{2}}{2}(	heta - \sin 	heta)$ होता है, जहाँ $	heta = \arccos \frac{x}{r}$।

यहाँ $\int_{0}^{2} \sqrt{4 - x^{2}} \, dx = \frac{1}{4} \pi (2)^2 = \pi$ का आधा भाग है क्योंकि यह प्रथम चतुर्थांश है।

अतः क्षेत्रफल = $\frac{\pi (2)^2}{4} = \pi$।

इसलिए सही उत्तर है (A) $\pi$। — वृत्त का क्षेत्रफल $\pi r^{2} = 4\pi$ है। प्रथम चतुर्थांश में इसका क्षेत्रफल $\frac{1}{4} 	imes 4\pi = \pi$ होता है। यहाँ $x=0$ से $x=2$ तक क्षेत्रफल प्रथम चतुर्थांश के बराबर है। अतः उत्तर (A) है।

Question 8

वक्र $y^{2} = 4x$, $y$-अक्ष एवं रेखा $y = 3$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है:
(A) 2
(B) $\frac{9}{4}$
(C) $\frac{9}{3}$
(D) $\frac{9}{2}$

Accepted Answer

वक्र $y^{2} = 4x$ से $x = \frac{y^{2}}{4}$ होता है। क्षेत्रफल $y$-अक्ष (x=0) से लेकर $y=3$ तक है।

क्षेत्रफल = $\int_{0}^{3} x \, dy = \int_{0}^{3} \frac{y^{2}}{4} \, dy = \frac{1}{4} \int_{0}^{3} y^{2} \, dy = \frac{1}{4} \left[ \frac{y^{3}}{3} ight]_{0}^{3} = \frac{1}{4} 	imes \frac{27}{3} = \frac{9}{4}$।

इसलिए सही उत्तर है (B) $\frac{9}{4}$। — क्षेत्रफल निकालने के लिए वक्र को $x$ के रूप में व्यक्त किया और $y$ के अनुसार समाकलन किया। सीमा $y=0$ से $y=3$ तक है। अतः क्षेत्रफल $\frac{9}{4}$ आता है।

Question 9

दिए हुए वक्रों एवं रेखाओं से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:
(i) $y = x^2$; $x = 1$, $x = 2$ एवं $x$-अक्ष
(ii) $y = x^4$; $x = 1$, $x = 5$ एवं $x$-अक्ष

Accepted Answer

समाधान:
(i) क्षेत्रफल = \int_{1}^{2} y \, dx = \int_{1}^{2} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_1^2 = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}

(ii) क्षेत्रफल = \int_{1}^{5} y \, dx = \int_{1}^{5} x^4 \, dx = \left[ \frac{x^5}{5} \right]_1^5 = \frac{3125}{5} - \frac{1}{5} = \frac{3124}{5} = 624.8 — क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए समाकलन का प्रयोग करते हैं। दिए गए वक्र y=f(x) और सीमाओं a,b के लिए क्षेत्रफल \int_a^b f(x) dx होता है।
(i) y=x^2 के लिए \int_1^2 x^2 dx = [x^3/3]_1^2 = (8/3)-(1/3) = 7/3
(ii) y=x^4 के लिए \int_1^5 x^4 dx = [x^5/5]_1^5 = (3125/5)-(1/5) = 3124/5 = 624.8

Question 10

$y = |x + 3|$ का ग्राफ खींचिए एवं $\int_{-6}^{0} |x + 3| \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

Accepted Answer

समाधान:
ग्राफ: y = |x+3| एक V-आकार का ग्राफ है, जो x = -3 पर शिखर बिंदु है।

समाकलन:
\int_{-6}^{0} |x+3| dx = \int_{-6}^{-3} -(x+3) dx + \int_{-3}^{0} (x+3) dx
= \left[-\frac{(x+3)^2}{2}\right]_{-6}^{-3} + \left[\frac{(x+3)^2}{2}\right]_{-3}^{0}
= \left[-\frac{0^2}{2} + \frac{(-3)^2}{2}\right] + \left[\frac{3^2}{2} - \frac{0^2}{2}\right]
= \left[0 + \frac{9}{2}\right] + \left[\frac{9}{2} - 0\right] = \frac{9}{2} + \frac{9}{2} = 9 — y=|x+3| का अर्थ है यदि x+3 >=0 तो y=x+3 अन्यथा y=-(x+3)।
इसलिए समाकलन को दो भागों में विभाजित करते हैं:
-6 से -3 तक y=-(x+3)
-3 से 0 तक y=x+3
दोनों भागों का समाकलन निकालकर जोड़ते हैं।

Question 11

$x = 0$ एवं $x = 2\pi$ तथा वक्र $y = \sin x$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Accepted Answer

समाधान:
क्षेत्रफल = \int_0^{2\pi} |\sin x| dx
\sin x 0 से \pi तक धनात्मक है और \pi से 2\pi तक ऋणात्मक है।
इसलिए,
क्षेत्रफल = \int_0^{\pi} \sin x dx - \int_{\pi}^{2\pi} \sin x dx
= [-\cos x]_0^{\pi} - [-\cos x]_{\pi}^{2\pi}
= [-\cos \pi + \cos 0] - [-\cos 2\pi + \cos \pi]
= [ -(-1) + 1 ] - [ -1 + (-1) ] = (1+1) - (-2) = 2 + 2 = 4 — y=sin x का ग्राफ 0 से \pi तक ऊपर और \pi से 2\pi तक नीचे होता है।
इसलिए क्षेत्रफल निकालते समय ऋणात्मक भाग का मान धनात्मक लेते हैं।
इस प्रकार क्षेत्रफल = \int_0^{\pi} \sin x dx - \int_{\pi}^{2\pi} \sin x dx
इसे हल करने पर क्षेत्रफल 4 आता है।

Question 12

वक्र $y = x^3$, $x$-अक्ष एवं कोटियों $x = -2$, $x = 1$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है:
(A) $-9$
(B) $\frac{-15}{4}$
(C) $\frac{15}{4}$
(D) $\frac{17}{4}$

Accepted Answer

सही उत्तर: (C) $\frac{15}{4}$

समाधान:
क्षेत्रफल = \int_{-2}^{1} |x^3| dx
x^3 ऋणात्मक है जब x < 0 और धनात्मक जब x > 0।
इसलिए,
क्षेत्रफल = -\int_{-2}^{0} x^3 dx + \int_0^{1} x^3 dx
= -\left[ \frac{x^4}{4} \right]_{-2}^0 + \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^1
= -\left(0 - \frac{16}{4} \right) + \left( \frac{1}{4} - 0 \right)
= -(-4) + \frac{1}{4} = 4 + \frac{1}{4} = \frac{17}{4}

यह विकल्प (D) है, लेकिन विकल्प (C) दिया है $\frac{15}{4}$। पुनः जाँच करते हैं:

\int_{-2}^{0} x^3 dx = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{-2}^0 = 0 - \frac{16}{4} = -4
\int_0^{1} x^3 dx = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = \frac{1}{4} - 0 = \frac{1}{4}

क्षेत्रफल = -(-4) + \frac{1}{4} = 4 + \frac{1}{4} = \frac{17}{4}

अतः सही उत्तर (D) $\frac{17}{4}$ है। — क्षेत्रफल निकालते समय ऋणात्मक भाग का मान धनात्मक लेते हैं।
x^3 ऋणात्मक है x<0 पर, अतः उस भाग का समाकलन ऋणात्मक होगा, इसलिए उसका ऋणात्मक लेते हैं।
0 से 1 तक x^3 धनात्मक है, इसलिए सीधे समाकलन लेते हैं।
दोनों भागों को जोड़कर कुल क्षेत्रफल मिलता है।

Question 13

वक्र $y = x|x|$, $x$-अक्ष एवं कोटियों $x = -1$ तथा $x = 1$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल है:
(A) $0$
(B) $\frac{1}{3}$
(C) $\frac{2}{3}$
(D) $\frac{4}{3}$

[संकेत: $y = x^2$ यदि $x > 0$ एवं $y = -x^2$ यदि $x < 0$]

Accepted Answer

सही उत्तर: (C) $\frac{2}{3}$ समाधान: $y = x|x|$ है। यदि $x > 0$, तो $y = x \cdot x = x^2$ यदि $x < 0$, तो $y = x \cdot (-x) = -x^2$ क्षेत्रफल = \int_{-1}^0 |y| dx + \int_0^1 |y| dx = \int_{-1}^0 |-x^2| dx + \int_0^1 |x^2| dx = \int_{-1}^0 x^2 dx + \int_0^1 x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^0 + \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \left(0 - \frac{-1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - 0 \right) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3} — दिए गए संकेत के अनुसार, x<0 पर y=-x^2 और x>0 पर y=x^2 है। क्षेत्रफल निकालने के लिए y के मान का परिमाण लेकर दोनों सीमाओं पर समाकलन करते हैं। दोनों भागों का योग क्षेत्रफल देता है।

Question 14

वक्र $y = f(x)$, $x$-अक्ष एवं कोटियाँ $x = a$ तथा $x = b$ से घिरे क्षेत्रफल को समाकलन के माध्यम से कैसे व्यक्त किया जाता है? निम्नलिखित में से सही सूत्र चुनिए।

Accepted Answer

$\int_{a}^{b} f(x) \, dx$ — वक्र $y = f(x)$, $x$-अक्ष एवं कोटियाँ $x = a$ तथा $x = b$ से घिरे क्षेत्रफल को पतली उर्ध्वाधर पट्टियों के योगफल के रूप में माना जाता है, जहाँ प्रत्येक पट्टी का क्षेत्रफल $y \, dx = f(x) \, dx$ होता है। अतः कुल क्षेत्रफल $A = \int_{a}^{b} f(x) \, dx$ होता है।

Question 15

यदि वक्र $x = g(y)$, $y$-अक्ष एवं रेखाएँ $y = c$ तथा $y = d$ से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करना हो, तो क्षेत्रफल का सही समाकलन सूत्र क्या होगा?

Accepted Answer

$\int_{c}^{d} x \, dy$ — जब क्षेत्र $x = g(y)$, $y$-अक्ष और रेखाएँ $y = c$, $y = d$ से घिरा हो, तो हम क्षैतिज पट्टियों के योगफल के रूप में क्षेत्रफल निकालते हैं। प्रत्येक पट्टी का क्षेत्रफल $x \, dy$ होता है, अतः कुल क्षेत्रफल $A = \int_{c}^{d} x \, dy$ होगा।

Chapter 2

Chapter 2 — अध्ययन नोट्स

8.1 भूमिका (Introduction)

8.2 साधारण वक्रों के अंतर्गत क्षेत्रफल (Area Under Simple Curves)

उदाहरण 1: वृत्त x² + y² = a² का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

अभ्यास प्रश्न — Chapter 2

Ganit-II के सभी 7 अध्याय