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अवकलज के अनुप्रयोग | Class 12 Mathematics Notes

द्वारा ConceptScroll Team · प्रकाशित 17 जुलाई 2026 · 2 मिनट का पठन

अवकलज के अनुप्रयोग – this guide gives you a concise, exam-ready overview of अवकलज के अनुप्रयोग from Class 12 Mathematics, written by ConceptScroll editors and reviewed against the latest NCERT textbook.

अधिकतम और न्यूनतम मान

इस खंड में हम अवकलज की सहायता से किसी फलन के अधिकतम (maximum) और न्यूनतम (minimum) मान ज्ञात करने के तरीकों को समझेंगे। किसी फलन y = f(x) के अधिकतम या न्यूनतम मान वे बिंदु होते हैं जहाँ फलन का अवकलज शून्य होता है, अर्थात् f'(x) = 0। ऐसे बिंदुओं को स्थिर बिंदु (stationary points) कहते हैं। स्थिर बिंदु पर फलन का ग्राफ क्षैतिज स्पर्श रेखा रखता है। अधिकतम या न्यूनतम मान निर्धारित करने के लिए हम दूसरे अवकलज (द्वितीय अवकलज) का प्रयोग करते हैं। यदि f''(x) > 0, तो वह बिंदु न्यूनतम है, और यदि f''(x) < 0, तो वह अधिकतम है। यदि f''(x) = 0, तो परीक्षण असफल होता है और अन्य विधियाँ अपनानी पड़ती हैं। इस खंड में हम विभिन्न उदाहरणों के माध्यम से अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करने की प्रक्रिया को विस्तार से समझेंगे।

📊 Diagram: इस खंड में फलन के ग्राफ के उदाहरण दिए गए हैं जहाँ स्थिर बिंदु पर स्पर्श रेखा क्षैतिज होती है। एक ग्राफ में अधिकतम बिंदु और दूसरे में न्यूनतम बिंदु दर्शाए गए हैं। (देखें figure_2 और figure_3)

🧪 Activity: विद्यार्थी दिए गए फलनों के लिए स्थिर बिंदु खोजें और द्वितीय अवकलज परीक्षण द्वारा अधिकतम या न्यूनतम मान निर्धारित करें।

🔗 Connection: यह खंड दर के अनुपात के अनुप्रयोग से जुड़ता है जहाँ दो राशियों के परिवर्तन की दरों के अनुपात का अवकलज द्वारा विश्लेषण किया जाता है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

यदि किसी फलन $y = x^2$ का अवकलज ज्ञात करना हो, तो निम्नलिखित में से कौन सा सही है?

$2x$

यदि $s = f(t)$ किसी वस्तु की स्थिति दर्शाता है, तो गति $v$ किस प्रकार ज्ञात की जाती है?

$v = \frac{ds}{dt}$

त्वरण $a$ निम्न में से किस प्रकार व्यक्त किया जाता है?

$a = \frac{dv}{dt}$

यदि $f'(x) = 0$ है, तो $x$ पर फलन $f(x)$ का क्या अर्थ है?

$x$ पर स्थिर बिंदु है

इस अध्याय में महारत हासिल करें

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