Question 1

वृत्त के क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर इसकी त्रिज्या $r$ के सापेक्ष ज्ञात कीजिए जबकि
(a) $r = 3 	ext{ cm}$ है।
(b) $r = 4 	ext{ cm}$ है।

Accepted Answer

वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ होता है।
क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर $\frac{dA}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt}$ होती है।
(a) जब $r=3$ cm हो और $\frac{dr}{dt}$ ज्ञात हो तो $\frac{dA}{dt} = 2\pi 	imes 3 	imes \frac{dr}{dt} = 6\pi \frac{dr}{dt}$
(b) जब $r=4$ cm हो तो $\frac{dA}{dt} = 2\pi 	imes 4 	imes \frac{dr}{dt} = 8\pi \frac{dr}{dt}$ — क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है। $r$ के सापेक्ष $A$ का अवकलज $\frac{dA}{dr} = 2\pi r$ है। इसलिए $\frac{dA}{dt} = \frac{dA}{dr} 	imes \frac{dr}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt}$।

Question 2

एक घन का आयतन 8 cm³/s की दर से बढ़ रहा है। पृष्ठ क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है जबकि इसके किनारे की लंबाई 12 cm है।

Accepted Answer

घन का आयतन $V = a^3$ है।
पृष्ठ क्षेत्रफल $S = 6a^2$ है।
$dV/dt = 8$ cm³/s, $a=12$ cm
$dV/dt = 3a^2 \frac{da}{dt} \Rightarrow 8 = 3 	imes 12^2 	imes \frac{da}{dt} = 3 	imes 144 	imes \frac{da}{dt} = 432 \frac{da}{dt}$
इससे $\frac{da}{dt} = \frac{8}{432} = \frac{1}{54}$ cm/s
अब $\frac{dS}{dt} = 12a \frac{da}{dt} = 12 	imes 12 	imes \frac{1}{54} = \frac{144}{54} = \frac{8}{3}$ cm²/s — आयतन $V = a^3$ से $dV/dt = 3a^2 da/dt$ होता है। पृष्ठ क्षेत्रफल $S = 6a^2$ से $dS/dt = 12a da/dt$ होता है। $dV/dt$ ज्ञात होने पर $da/dt$ निकालकर $dS/dt$ ज्ञात किया।

Question 3

एक वृत्त की त्रिज्या समान रूप से 3 cm/s की दर से बढ़ रही है। ज्ञात कीजिए कि वृत्त का क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है जब त्रिज्या 10 cm है।

Accepted Answer

क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है।
$\frac{dr}{dt} = 3$ cm/s, $r=10$ cm
$\frac{dA}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt} = 2\pi 	imes 10 	imes 3 = 60\pi$ cm²/s — क्षेत्रफल का समय के सापेक्ष परिवर्तन $\frac{dA}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt}$ होता है। मान दिए जाने पर सीधे मान निकालें।

Question 4

एक परिवर्तनशील घन का किनारा 3 cm/s की दर से बढ़ रहा है। घन का आयतन किस दर से बढ़ रहा है जबकि किनारा 10 cm लंबा है?

Accepted Answer

आयतन $V = a^3$ है।
$\frac{da}{dt} = 3$ cm/s, $a=10$ cm
$\frac{dV}{dt} = 3a^2 \frac{da}{dt} = 3 	imes 10^2 	imes 3 = 3 	imes 100 	imes 3 = 900$ cm³/s — आयतन का समय के सापेक्ष परिवर्तन $\frac{dV}{dt} = 3a^2 \frac{da}{dt}$ होता है। मानों को स्थानापन्न कर हल करें।

Question 5

एक स्थिर झील में एक पत्थर डाला जाता है और तरंगें वृत्तों में 5 cm/s की गति से चलती हैं। जब वृत्ताकार तरंग की त्रिज्या 8 cm है तो उस क्षण, घिरा हुआ क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है?

Accepted Answer

क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है।
$\frac{dr}{dt} = 5$ cm/s, $r=8$ cm
$\frac{dA}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt} = 2\pi 	imes 8 	imes 5 = 80\pi$ cm²/s — क्षेत्रफल का परिवर्तन $\frac{dA}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt}$ से ज्ञात करें।

Question 6

एक वृत्त की त्रिज्या 0.7 cm/s की दर से बढ़ रही है। इसकी परिधि की वृद्धि की दर क्या है जब r = 4.9 cm है?

Accepted Answer

परिधि $C = 2\pi r$ है।
$\frac{dr}{dt} = 0.7$ cm/s, $r=4.9$ cm
$\frac{dC}{dt} = 2\pi \frac{dr}{dt} = 2\pi 	imes 0.7 = 1.4\pi$ cm/s — परिधि का परिवर्तन $\frac{dC}{dt} = 2\pi \frac{dr}{dt}$ होता है। मानों को स्थानापन्न कर हल करें।

Question 7

एक आयत की लंबाई x, 5 cm/min की दर से घट रही है और चौड़ाई y, 4 cm/min की दर से बढ़ रही है। जब x = 8 cm और y = 6 cm हैं तब आयत के (a) परिमाप (b) क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए।

Accepted Answer

(a) परिमाप $P = 2(x + y)$ है।
$\frac{dx}{dt} = -5$ cm/min, $\frac{dy}{dt} = 4$ cm/min, $x=8$, $y=6$
$\frac{dP}{dt} = 2\left(\frac{dx}{dt} + \frac{dy}{dt}ight) = 2(-5 + 4) = 2(-1) = -2$ cm/min
परिमाप घट रही है।

(b) क्षेत्रफल $A = xy$
$\frac{dA}{dt} = x \frac{dy}{dt} + y \frac{dx}{dt} = 8 	imes 4 + 6 	imes (-5) = 32 - 30 = 2$ cm²/min
क्षेत्रफल बढ़ रहा है। — परिमाप का परिवर्तन $\frac{dP}{dt} = 2(\frac{dx}{dt} + \frac{dy}{dt})$ और क्षेत्रफल का परिवर्तन $\frac{dA}{dt} = x \frac{dy}{dt} + y \frac{dx}{dt}$ होता है। मानों को स्थानापन्न कर हल करें।

Question 8

एक गुब्बारा जो सदैव गोलाकार रहता है, एक पंप द्वारा 900 cm³ गैस प्रति सेकंड भर कर फुलाया जाता है। गुब्बारे की त्रिज्या के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए जब त्रिज्या 15 cm है।

Accepted Answer

गुब्बारे का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ है।
$\frac{dV}{dt} = 900$ cm³/s, $r=15$ cm
$\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$
$900 = 4\pi 	imes 15^2 	imes \frac{dr}{dt} = 4\pi 	imes 225 	imes \frac{dr}{dt} = 900\pi \frac{dr}{dt}$
$\Rightarrow \frac{dr}{dt} = \frac{900}{900\pi} = \frac{1}{\pi}$ cm/s — गोलाकार गुब्बारे का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ है। $dV/dt = 4\pi r^2 dr/dt$ से $dr/dt$ निकालें।

Question 9

एक गुब्बारा जो सदैव गोलाकार रहता है, की त्रिज्या परिवर्तनशील है। त्रिज्या के सापेक्ष आयतन के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए जब त्रिज्या 10 cm है।

Accepted Answer

आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$
$\frac{dV}{dr} = 4\pi r^2$
त्रिज्या के सापेक्ष आयतन के परिवर्तन की दर $= \frac{dV}{dr} = 4\pi r^2$
$r=10$ cm पर
$\frac{dV}{dr} = 4\pi 	imes 10^2 = 400\pi$ cm² — यहाँ $\frac{dV}{dr}$ पूछा गया है, जो कि $4\pi r^2$ होता है। मान स्थानापन्न करें।

Question 10

एक 5 m लंबी सीढ़ी दीवार के सहारे झुकी है। सीढ़ी का नीचे का सिरा, जमीन के अनुदिश, दीवार से दूर 2 cm/s की दर से खींचा जाता है। दीवार पर इसकी ऊँचाई किस दर से घट रही है जबकि सीढ़ी के नीचे का सिरा दीवार से 4 m दूर है?

Accepted Answer

सीढ़ी की लंबाई $l=5$ m स्थिर है।
नीचे का सिरा दीवार से दूरी $x$, ऊँचाई $y$
पाइथागोरस: $x^2 + y^2 = l^2 = 25$
$\frac{dx}{dt} = 2$ m/s, $x=4$ m
$2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$
$\Rightarrow x \frac{dx}{dt} + y \frac{dy}{dt} = 0$
$y = \sqrt{25 - x^2} = \sqrt{25 - 16} = 3$
$4 	imes 2 + 3 	imes \frac{dy}{dt} = 0$
$8 + 3 \frac{dy}{dt} = 0$
$\frac{dy}{dt} = -\frac{8}{3}$ m/s
ऊँचाई घट रही है। — पाइथागोरस प्रमेय से $x^2 + y^2 = 25$ है। दोनों ओर समय के सापेक्ष अवकलन करें। मान स्थानापन्न कर $\frac{dy}{dt}$ निकालें।

Question 11

एक कण वक्र 6y = x³ + 2 के अनुगत गति कर रहा हैं। वक्र पर उन बिंदुओं को ज्ञात कीजिए जबकि x-निर्देशांक की तुलना में y-निर्देशांक 8 गुना तीव्रता से बदल रहा है।

Accepted Answer

दिया है: $6y = x^3 + 2$
दोनों ओर $t$ के सापेक्ष अवकलन करें:
$6 \frac{dy}{dt} = 3x^2 \frac{dx}{dt}$
$\Rightarrow \frac{dy}{dt} = \frac{3x^2}{6} \frac{dx}{dt} = \frac{x^2}{2} \frac{dx}{dt}$
शर्त है: $\frac{dy}{dt} = 8 \frac{dx}{dt}$
$8 \frac{dx}{dt} = \frac{x^2}{2} \frac{dx}{dt}$
$8 = \frac{x^2}{2} \Rightarrow x^2 = 16 \Rightarrow x = \pm 4$
$x=4$ के लिए,
$6y = 4^3 + 2 = 64 + 2 = 66 \Rightarrow y = 11$
$x=-4$ के लिए,
$6y = (-4)^3 + 2 = -64 + 2 = -62 \Rightarrow y = -\frac{62}{6} = -\frac{31}{3}$
अतः बिंदु हैं $(4, 11)$ और $(-4, -\frac{31}{3})$। — वक्र समीकरण का समय के सापेक्ष अवकलन कर $\frac{dy}{dt}$ और $\frac{dx}{dt}$ के बीच संबंध निकालें। दिए गए संबंध से $x$ के मान ज्ञात करें। फिर $y$ निकालें।

Question 12

हवा के एक बुलबुले की त्रिज्या $\frac{1}{2}$ cm/s की दर से बढ़ रही है। बुलबुले का आयतन किस दर से बढ़ रहा है जबकि त्रिज्या 1 cm है?

Accepted Answer

बुलबुले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ है।
$\frac{dr}{dt} = \frac{1}{2}$ cm/s, $r=1$ cm
$\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt} = 4\pi 	imes 1^2 	imes \frac{1}{2} = 2\pi$ cm³/s — आयतन का परिवर्तन $\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$ होता है। मान स्थानापन्न कर हल करें।

Question 13

एक गुब्बारा, जो सदैव गोलाकार रहता है, का परिवर्तनशील व्यास $\frac{3}{2}(2x + 1)$ है। x के सापेक्ष आयतन के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए।

Accepted Answer

व्यास $d = \frac{3}{2}(2x + 1)$ है।
त्रिज्या $r = \frac{d}{2} = \frac{3}{4}(2x + 1)$
आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$
$V = \frac{4}{3} \pi \left( \frac{3}{4}(2x + 1) ight)^3 = \frac{4}{3} \pi \left( \frac{27}{64} (2x + 1)^3 ight) = \frac{4}{3} \pi 	imes \frac{27}{64} (2x + 1)^3 = \frac{27\pi}{48} (2x + 1)^3$
$\frac{dV}{dx} = \frac{27\pi}{48} 	imes 3 (2x + 1)^2 	imes 2 = \frac{27\pi}{48} 	imes 6 (2x + 1)^2 = \frac{27\pi}{8} (2x + 1)^2$ — व्यास से त्रिज्या निकालकर आयतन व्यक्त करें। फिर $x$ के सापेक्ष अवकलज लेकर $\frac{dV}{dx}$ ज्ञात करें।

Question 14

एक पाइप से रेत 12 cm³/s की दर से गिर रही है। गिरती रेत जमीन पर एक ऐसा शंकु बनाती है जिसकी ऊँचाई सदैव आधार की त्रिज्या का छठा भाग है। रेत से बने के शंकु की ऊँचाई किस दर से बढ़ रही है जबकि ऊँचाई 4 cm है?

Accepted Answer

रेत गिरने की दर $\frac{dV}{dt} = 12$ cm³/s है।
शंकु का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$
दी गई शर्त: $h = 6r \Rightarrow r = \frac{h}{6}$
$V = \frac{1}{3} \pi \left( \frac{h}{6} ight)^2 h = \frac{1}{3} \pi \frac{h^2}{36} h = \frac{\pi h^3}{108}$
$\frac{dV}{dt} = \frac{\pi}{108} 	imes 3 h^2 \frac{dh}{dt} = \frac{\pi}{36} h^2 \frac{dh}{dt}$
$12 = \frac{\pi}{36} 	imes 4^2 	imes \frac{dh}{dt} = \frac{\pi}{36} 	imes 16 	imes \frac{dh}{dt} = \frac{4\pi}{9} \frac{dh}{dt}$
$\Rightarrow \frac{dh}{dt} = \frac{12 	imes 9}{4\pi} = \frac{108}{4\pi} = \frac{27}{\pi}$ cm/s — शंकु के आयतन का $h$ के सापेक्ष अवकलज लेकर $\frac{dV}{dt}$ के साथ समीकरण बनाएं। मान स्थानापन्न कर $\frac{dh}{dt}$ निकालें।

Question 15

एक वस्तु की $x$ इकाइयों के उत्पादन से संबंध कुल लागत $C(x)$ (रुपये में)

$$
C(x) = 0.007x^3 - 0.003x^2 + 15x + 4000
$$

से प्रदत्त है। सीमांत लागत ज्ञात कीजिए जबकि 17 इकाइयों का उत्पादन किया गया है।

Accepted Answer

सीमांत लागत $C'(x) = \frac{dC}{dx} = 0.021x^2 - 0.006x + 15$
$x=17$ पर,
$C'(17) = 0.021 	imes 17^2 - 0.006 	imes 17 + 15 = 0.021 	imes 289 - 0.102 + 15 = 6.069 - 0.102 + 15 = 20.967$
अतः सीमांत लागत 20.967 रुपये है। — कुल लागत का अवकलज सीमांत लागत है। $C(x)$ का अवकलज लेकर $x=17$ पर मान निकालें।

Chapter 6

Chapter 6 — अध्ययन नोट्स

अवकलज के अनुप्रयोग का परिचय

गतिशीलता और गति

अधिकतम और न्यूनतम मान

अभ्यास प्रश्न — Chapter 6

Ganit-I के सभी 6 अध्याय