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अवकलज के अनुप्रयोग | Class 12 Mathematics Notes

द्वारा ConceptScroll Team · प्रकाशित 17 जुलाई 2026 · 2 मिनट का पठन

अवकलज के अनुप्रयोग – this guide gives you a concise, exam-ready overview of अवकलज के अनुप्रयोग from Class 12 Mathematics, written by ConceptScroll editors and reviewed against the latest NCERT textbook.

गतिशीलता और गति

गतिशीलता और गति के खंड में अवकलज का उपयोग वस्तु की स्थिति और उसके समय के संबंध को समझने के लिए किया जाता है। यदि किसी वस्तु की स्थिति s समय t के सापेक्ष s = s(t) के रूप में दी गई है, तो उसकी गति v(t) को s का t के सापेक्ष अवकलज लेकर ज्ञात किया जाता है। अर्थात्, v(t) = ds/dt। गति वस्तु की स्थिति में समय के साथ होने वाले परिवर्तन की दर है। इसी प्रकार, त्वरण a(t) वस्तु की गति का समय के सापेक्ष अवकलज है, अर्थात् a(t) = dv/dt = d²s/dt²। गति और त्वरण की अवधारणाएँ भौतिकी में अत्यंत महत्वपूर्ण हैं। गति की दिशा और मान दोनों अवकलज द्वारा निर्धारित होते हैं। यदि गति धनात्मक है, तो वस्तु आगे बढ़ रही है, और यदि ऋणात्मक है, तो वस्तु पीछे की ओर जा रही है। इस खंड में हम गति और त्वरण के उदाहरणों के माध्यम से अवकलज के प्रयोग को समझेंगे।

📊 Diagram: इस खंड में एक ग्राफ दिया गया है जिसमें समय के सापेक्ष स्थिति का ग्राफ है और उस पर स्पर्श रेखा की ढलान गति को दर्शाती है। साथ ही गति के ग्राफ का अवकलज त्वरण को दर्शाता है। (देखें figure_1)

🧪 Activity: विद्यार्थी किसी वस्तु की स्थिति s(t) के लिए गति और त्वरण की गणना करें। उदाहरण के लिए, s(t) = t³ - 6t² + 9t के लिए v(t) और a(t) ज्ञात करें।

🔗 Connection: यह खंड अधिकतम और न्यूनतम मान के खंड से जुड़ता है जहाँ अवकलज का प्रयोग फलनों के चरम मान ज्ञात करने में किया जाता है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

यदि किसी फलन $y = x^2$ का अवकलज ज्ञात करना हो, तो निम्नलिखित में से कौन सा सही है?

$2x$

यदि $s = f(t)$ किसी वस्तु की स्थिति दर्शाता है, तो गति $v$ किस प्रकार ज्ञात की जाती है?

$v = \frac{ds}{dt}$

त्वरण $a$ निम्न में से किस प्रकार व्यक्त किया जाता है?

$a = \frac{dv}{dt}$

यदि $f'(x) = 0$ है, तो $x$ पर फलन $f(x)$ का क्या अर्थ है?

$x$ पर स्थिर बिंदु है

इस अध्याय में महारत हासिल करें

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