सांतत्य तथा अवकलनीयता | Class 12 Mathematics Notes
द्वारा ConceptScroll Team · प्रकाशित 17 जुलाई 2026 · 3 मिनट का पठन
सांतत्य तथा अवकलनीयता – this guide gives you a concise, exam-ready overview of सांतत्य तथा अवकलनीयता from Class 12 Mathematics, written by ConceptScroll editors and reviewed against the latest NCERT textbook.
निरंतरता के प्रकार (Types of Continuity)
निरंतरता को मुख्यतः तीन प्रकारों में वर्गीकृत किया जाता है: सामान्य निरंतरता, बाएँ से निरंतरता, और दाएँ से निरंतरता। बाएँ से निरंतरता का अर्थ है कि फलन की सीमा बिंदु के बाएँ ओर से फलन के मान के बराबर हो, अर्थात् lim x→a⁻ f(x) = f(a)। इसी प्रकार, दाएँ से निरंतरता का अर्थ है कि फलन की सीमा बिंदु के दाएँ ओर से फलन के मान के बराबर हो, अर्थात् lim x→a⁺ f(x) = f(a)। सामान्य निरंतरता तब होती है जब दोनों सीमाएँ और फलन का मान समान हों। असततता के प्रकार भी इसी आधार पर वर्गीकृत किए जाते हैं जैसे छलांग असततता, हटाने योग्य असततता आदि। निरंतरता के प्रकारों को समझना फलन के व्यवहार का विश्लेषण करने में मदद करता है।
📊 Diagram: इस खंड में तीन ग्राफ दिखाए गए हैं: पहला बाएँ से निरंतरता दर्शाता है जहाँ दाएँ सीमा भिन्न है, दूसरा दाएँ से निरंतरता जहाँ बाएँ सीमा भिन्न है, और तीसरा सामान्य निरंतरता जहाँ दोनों सीमाएँ और फलन का मान समान हैं। (देखें figure_2, figure_3, figure_4)
🧪 Activity: छात्रों को विभिन्न फलनों के लिए बाएँ और दाएँ सीमाएँ निकालने और निरंतरता के प्रकार निर्धारित करने का अभ्यास कराया जाता है।
🔗 Connection: यह खंड फलनों की सांतत्य की जाँच के लिए आवश्यक आधार प्रदान करता है, जो अगले खंड में विस्तार से समझाया गया है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
1. निम्नलिखित फलनों की x = 2 पर सांतत्य की जाँच कीजिए: (i) f(x) = x^2 (ii) f(x) = { x, x < 2; 4, x ≥ 2 }
हल: (i) f(x) = x^2 पर x = 2 पर सांतत्य की जाँच: 1. f(2) = (2)^2 = 4 2. बाएँ सीमा: lim_{x→2^-} f(x) = lim_{x→2^-} x^2 = 4 3. दाएँ सीमा: lim_{x→2^+} f(x) = lim_{x→2^+} x^2 = 4 चूँकि बाएँ सीमा = दाएँ सीमा = f(2), अतः फलन x = 2 पर सांतत है।
(ii) f(x) = { x, x < 2; 4, x ≥ 2 } 1. f(2) = 4 2. बाएँ सीमा: lim_{x→2^-} f(x) = lim_{x→2^-} x = 2 3. दाएँ सीमा: lim_{x→2^+} f(x) = lim_{x→2^+} 4 = 4 यहाँ बाएँ सीमा ≠ दाएँ सीमा, अतः फलन x = 2 पर सांतत नहीं है।
2. सिद्ध कीजिए कि f(x) = x^3 - 3x + 2 सभी वास्तविक संख्याओं के लिए सांतत है।
हल: हम जानते हैं कि बहुपद फलन सभी वास्तविक संख्याओं पर सांतत होते हैं। यहाँ f(x) = x^3 - 3x + 2 एक बहुपद फलन है। अतः f(x) सभी वास्तविक संख्याओं पर सांतत है।
वैकल्पिक रूप से, किसी भी x = a के लिए, lim_{x→a} f(x) = f(a) क्योंकि बहुपद फलन की सीमा और उसका मान बराबर होते हैं। अतः सिद्ध हुआ।
3. यदि f(x) = |x|, तो x = 0 पर सांतत्य की जाँच कीजिए।
हल: f(x) = |x| 1. f(0) = |0| = 0 2. बाएँ सीमा: lim_{x→0^-} |x| = lim_{x→0^-} -x = 0 3. दाएँ सीमा: lim_{x→0^+} |x| = lim_{x→0^+} x = 0 तीनों मान 0 हैं, अतः फलन x = 0 पर सांतत है।
4. सिद्ध कीजिए कि यदि कोई फलन x = a पर अवकलनीय है, तो वह बिंदु पर सांतत भी होगा।
हल: मान लीजिए f(x) x = a पर अवकलनीय है। अर्थात्, \lim_{h\to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \text{ का अस्तित्व है।}
अब, \lim_{x\to a} f(x) = \lim_{h\to 0} f(a+h) = f(a) + \lim_{h\to 0} [f(a+h) - f(a)] यदि \lim_{h\to 0} [f(a+h) - f(a)] = 0, तो \lim_{x\to a} f(x) = f(a)
क्योंकि अवकलनीयता के लिए यह शर्त आवश्यक है, अतः फलन x = a पर सांतत होगा।
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