Question 1

निम्नलिखित फलनों की x = 2 पर सांतत्य की जाँच कीजिए:
(i) f(x) = x^2
(ii) f(x) = { x, x < 2; 4, x ≥ 2 }

Accepted Answer

हल:
(i) f(x) = x^2 पर x = 2 पर सांतत्य की जाँच:
1. f(2) = (2)^2 = 4
2. बाएँ सीमा: lim_{x→2^-} f(x) = lim_{x→2^-} x^2 = 4
3. दाएँ सीमा: lim_{x→2^+} f(x) = lim_{x→2^+} x^2 = 4
चूँकि बाएँ सीमा = दाएँ सीमा = f(2), अतः फलन x = 2 पर सांतत है।

(ii) f(x) = { x, x < 2; 4, x ≥ 2 }
1. f(2) = 4
2. बाएँ सीमा: lim_{x→2^-} f(x) = lim_{x→2^-} x = 2
3. दाएँ सीमा: lim_{x→2^+} f(x) = lim_{x→2^+} 4 = 4
यहाँ बाएँ सीमा ≠ दाएँ सीमा, अतः फलन x = 2 पर सांतत नहीं है। — प्रत्येक फलन के लिए, पहले f(2) ज्ञात किया। फिर बाएँ और दाएँ सीमा निकाली। यदि तीनों बराबर हैं तो फलन सांतत है, अन्यथा नहीं। पहले फलन में तीनों 4 हैं, दूसरे में बाएँ सीमा 2 और दाएँ सीमा 4 है, अतः सांतत्य नहीं।

Question 2

सिद्ध कीजिए कि f(x) = x^3 - 3x + 2 सभी वास्तविक संख्याओं के लिए सांतत है।

Accepted Answer

हल:
हम जानते हैं कि बहुपद फलन सभी वास्तविक संख्याओं पर सांतत होते हैं।
यहाँ f(x) = x^3 - 3x + 2 एक बहुपद फलन है।
अतः f(x) सभी वास्तविक संख्याओं पर सांतत है।

वैकल्पिक रूप से,
किसी भी x = a के लिए,
lim_{x→a} f(x) = f(a)
क्योंकि बहुपद फलन की सीमा और उसका मान बराबर होते हैं।
अतः सिद्ध हुआ। — बहुपद फलन (Polynomial function) हर जगह सांतत होते हैं, क्योंकि उनके लिए सीमा और फलन का मान हर बिंदु पर बराबर होता है।

Question 3

यदि f(x) = |x|, तो x = 0 पर सांतत्य की जाँच कीजिए।

Accepted Answer

हल:
f(x) = |x|
1. f(0) = |0| = 0
2. बाएँ सीमा: lim_{x→0^-} |x| = lim_{x→0^-} -x = 0
3. दाएँ सीमा: lim_{x→0^+} |x| = lim_{x→0^+} x = 0
तीनों मान 0 हैं, अतः फलन x = 0 पर सांतत है। — f(0) = 0, बाएँ और दाएँ सीमा दोनों 0 हैं, अतः फलन x = 0 पर सांतत है।

Question 4

सिद्ध कीजिए कि यदि कोई फलन x = a पर अवकलनीय है, तो वह बिंदु पर सांतत भी होगा।

Accepted Answer

हल:
मान लीजिए f(x) x = a पर अवकलनीय है।
अर्थात्, 
\lim_{h	o 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} 	ext{ का अस्तित्व है।}

अब,
\lim_{x	o a} f(x) = \lim_{h	o 0} f(a+h)
= f(a) + \lim_{h	o 0} [f(a+h) - f(a)]
यदि \lim_{h	o 0} [f(a+h) - f(a)] = 0,
तो \lim_{x	o a} f(x) = f(a)

क्योंकि अवकलनीयता के लिए यह शर्त आवश्यक है, अतः फलन x = a पर सांतत होगा। — अवकलनीयता के लिए सीमा का अस्तित्व और f(a) का बराबर होना आवश्यक है, अतः फलन सांतत भी होगा।

Question 5

निम्नलिखित फलनों की x = 0 पर अवकलनीयता की जाँच कीजिए:
(i) f(x) = |x|
(ii) f(x) = x^2

Accepted Answer

हल:
(i) f(x) = |x|
बाएँ व्युत्पन्न: \lim_{h	o 0^-} \frac{|0+h| - |0|}{h} = \lim_{h	o 0^-} \frac{-h}{h} = -1
दाएँ व्युत्पन्न: \lim_{h	o 0^+} \frac{|0+h| - |0|}{h} = \lim_{h	o 0^+} \frac{h}{h} = 1
चूँकि बाएँ और दाएँ व्युत्पन्न बराबर नहीं हैं, अतः x = 0 पर अवकलनीय नहीं है।

(ii) f(x) = x^2
बाएँ व्युत्पन्न: \lim_{h	o 0^-} \frac{(0+h)^2 - 0^2}{h} = \lim_{h	o 0^-} \frac{h^2}{h} = 0
दाएँ व्युत्पन्न: \lim_{h	o 0^+} \frac{h^2}{h} = 0
दोनों बराबर हैं, अतः x = 0 पर अवकलनीय है। — प्रत्येक फलन के लिए बाएँ और दाएँ व्युत्पन्न निकाले। यदि दोनों बराबर हैं तो अवकलनीय, अन्यथा नहीं। |x| के लिए -1 और 1, x^2 के लिए दोनों 0।

Question 6

सिद्ध कीजिए कि फलन $f(x) = 5x - 3$, $x = 0$, $x = -3$ तथा $x = 5$ पर संतत है।

Accepted Answer

फलन $f(x) = 5x - 3$ एक रैखिक फलन है जो सभी वास्तविक संख्याओं पर निरंतर होता है। इसलिए, $x=0$, $x=-3$ तथा $x=5$ पर भी यह फलन संतत है।

संततता की परिभाषा के अनुसार, किसी बिंदु $c$ पर फलन $f$ संतत होगा यदि $
\lim_{x 	o c} f(x) = f(c)$।

चूंकि $f$ रैखिक है, अतः $
\lim_{x 	o c} f(x) = 5c - 3 = f(c)$। अतः $x=0$, $x=-3$, और $x=5$ पर $f$ संतत है। — रैखिक फलन $f(x) = 5x - 3$ सभी वास्तविक संख्याओं पर निरंतर होता है। इसलिए किसी भी बिंदु $c$ पर $
\lim_{x 	o c} f(x) = f(c)$ होता है। अतः $x=0$, $x=-3$, और $x=5$ पर फलन संतत है।

Question 7

$x = 3$ पर फलन $f(x) = 2x^2 - 1$ के सांतत्य की जाँच कीजिए।

Accepted Answer

फलन $f(x) = 2x^2 - 1$ एक बहुपद फलन है जो सभी वास्तविक संख्याओं पर निरंतर होता है।

संततता की जाँच के लिए,

$f(3) = 2(3)^2 - 1 = 2 	imes 9 - 1 = 18 - 1 = 17$

अब,

$\lim_{x 	o 3} f(x) = \lim_{x 	o 3} (2x^2 - 1) = 2(3)^2 - 1 = 17$

चूंकि $\lim_{x 	o 3} f(x) = f(3)$, अतः $f$ फलन $x=3$ पर संतत है। — बहुपद फलन सभी वास्तविक संख्याओं पर निरंतर होते हैं। यहाँ $f(3)$ और $\lim_{x 	o 3} f(x)$ दोनों समान हैं, अतः फलन $x=3$ पर संतत है।

Question 8

निम्नलिखित फलनों के सांतत्य की जाँच कीजिए:

(a) $f(x) = x - 5$

(b) $f(x) = \frac{1}{x - 5}$, $x 
eq 5$

(c) $f(x) = \frac{x^2 - 25}{x + 5}$, $x 
eq -5$

(d) $f(x) = |x - 5|$

Accepted Answer

(a) $f(x) = x - 5$ एक रैखिक फलन है, अतः सभी $x$ पर निरंतर है। इसलिए यह सभी बिंदुओं पर संतत है।

(b) $f(x) = \frac{1}{x - 5}$ है। यह फलन $x=5$ पर परिभाषित नहीं है। अतः $x=5$ पर असंतत है। अन्य सभी बिंदुओं पर निरंतर है।

(c) $f(x) = \frac{x^2 - 25}{x + 5} = \frac{(x - 5)(x + 5)}{x + 5} = x - 5$, जब $x 
eq -5$। अतः $x 
eq -5$ पर यह रैखिक फलन की तरह व्यवहार करता है और निरंतर है। $x = -5$ पर परिभाषित नहीं है, अतः वहाँ असंतत है।

(d) $f(x) = |x - 5|$ निरंतर है क्योंकि परिमाण फलन निरंतर होता है। अतः सभी $x$ पर संतत है। — रैखिक फलन निरंतर होते हैं। भिन्न फलन जहाँ हर विभाजक शून्य होता है, वहाँ असंतत होते हैं। परिमाण फलन निरंतर होता है।

Question 9

सिद्ध कीजिए कि फलन $f(x) = x^n$, $x = n$, पर संतत है, जहाँ $n$ एक धन पूर्णांक है।

Accepted Answer

फलन $f(x) = x^n$ एक बहुपद फलन है, जो सभी वास्तविक संख्याओं पर निरंतर होता है। इसलिए किसी भी बिंदु $x = c$ पर संतत होता है। विशेष रूप से, $x = n$ पर भी यह संतत है।

संततता की जाँच के लिए,

$f(n) = n^n$

और

$\lim_{x 	o n} f(x) = \lim_{x 	o n} x^n = n^n$

इसलिए,

$\lim_{x 	o n} f(x) = f(n)$,

अतः $f$ फलन $x=n$ पर संतत है। — बहुपद फलन सभी वास्तविक संख्याओं पर निरंतर होते हैं। अतः $x=n$ पर भी संततता सिद्ध होती है।

Question 10

क्या $f(x) = \begin{cases} x, & 	ext{यदि } x \leq 1 \ 5, & 	ext{यदि } x > 1 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित फलन $f$ $x = 0, x = 1$, तथा $x = 2$ पर संतत है?

Accepted Answer

फलन $f$ को दो भागों में परिभाषित किया गया है:

- जब $x \leq 1$, $f(x) = x$
- जब $x > 1$, $f(x) = 5$

संततता की जाँच:

(i) $x=0$ पर:

$f(0) = 0$ (पहले भाग से)

$\lim_{x 	o 0^-} f(x) = 0$

$\lim_{x 	o 0^+} f(x) = 5$ (दूसरे भाग से)

चूंकि $\lim_{x 	o 0^-} f(x) 
eq \lim_{x 	o 0^+} f(x)$, अतः $x=0$ पर असंतत है।

(ii) $x=1$ पर:

$f(1) = 1$

$\lim_{x 	o 1^-} f(x) = 1$

$\lim_{x 	o 1^+} f(x) = 5$

दोनों सीमाएँ समान नहीं हैं, अतः $x=1$ पर असंतत है।

(iii) $x=2$ पर:

$f(2) = 5$

$\lim_{x 	o 2} f(x) = 5$

अतः $x=2$ पर फलन संतत है। — सांतत्य के लिए दोनों ओर की सीमाएँ और फलन का मान समान होना चाहिए। $x=0$ और $x=1$ पर यह शर्त पूरी नहीं होती, जबकि $x=2$ पर पूरी होती है।

Question 11

$f(x) = \begin{cases} 2x + 3, & 	ext{यदि } x \leq 2 \ 2x - 3, & 	ext{यदि } x > 2 \end{cases}$ के सभी असांतत्य के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए।

Accepted Answer

यह फलन दो भागों में परिभाषित है।

$x=2$ पर जांच करते हैं:

$f(2) = 2(2) + 3 = 7$

$\lim_{x 	o 2^-} f(x) = 2(2) + 3 = 7$

$\lim_{x 	o 2^+} f(x) = 2(2) - 3 = 1$

चूंकि दोनों सीमाएँ समान नहीं हैं, अतः $x=2$ पर असंतत है।

अन्य सभी बिंदुओं पर दोनों भाग निरंतर हैं। अतः असांतत्य का एकमात्र बिंदु $x=2$ है। — सांतत्य के लिए दोनों ओर की सीमाएँ और फलन का मान समान होना चाहिए। केवल $x=2$ पर यह शर्त पूरी नहीं होती।

Question 12

$f(x) = \begin{cases} |x| + 3, & 	ext{यदि } x \leq -3 \ -2x, & 	ext{यदि } -3 < x < 3 \ 6x + 2, & 	ext{यदि } x \geq 3 \end{cases}$ के सभी असांतत्य के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए।

Accepted Answer

असांतत्य की जाँच के लिए $x = -3$ और $x = 3$ पर सीमाएँ जांचते हैं।

(i) $x = -3$ पर:

$f(-3) = |-3| + 3 = 3 + 3 = 6$

$\lim_{x 	o -3^-} f(x) = 6$

$\lim_{x 	o -3^+} f(x) = -2(-3) = 6$

दोनों सीमाएँ और फलन का मान समान हैं, अतः $x=-3$ पर निरंतर है।

(ii) $x = 3$ पर:

$f(3) = 6(3) + 2 = 18 + 2 = 20$

$\lim_{x 	o 3^-} f(x) = -2(3) = -6$

$\lim_{x 	o 3^+} f(x) = 20$

दोनों सीमाएँ समान नहीं हैं, अतः $x=3$ पर असंतत है।

अन्य सभी बिंदुओं पर फलन निरंतर है। अतः असांतत्य का एकमात्र बिंदु $x=3$ है। — सांतत्य के लिए दोनों ओर की सीमाएँ और फलन का मान समान होना चाहिए। केवल $x=3$ पर यह शर्त पूरी नहीं होती।

Question 13

$f(x) = \begin{cases} \frac{|x|}{x}, & 	ext{यदि } x 
eq 0 \ 0, & 	ext{यदि } x = 0 \end{cases}$ के सभी असांतत्य के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए।

Accepted Answer

यह फलन $x 
eq 0$ पर $f(x) = \frac{|x|}{x}$ है।

जब $x > 0$, $f(x) = \frac{x}{x} = 1$

जब $x < 0$, $f(x) = \frac{-x}{x} = -1$

अब $x=0$ पर:

$f(0) = 0$

$\lim_{x 	o 0^-} f(x) = -1$

$\lim_{x 	o 0^+} f(x) = 1$

दोनों सीमाएँ समान नहीं हैं, अतः $x=0$ पर असंतत है।

अन्य सभी बिंदुओं पर फलन निरंतर है। — फलन $x=0$ पर परिभाषित है लेकिन दोनों ओर की सीमाएँ समान नहीं हैं, इसलिए असंतत है।

Question 14

$f(x) = \begin{cases} \frac{x}{|x|}, & 	ext{यदि } x < 0 \ -1, & 	ext{यदि } x \geq 0 \end{cases}$ के सभी असांतत्य के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए।

Accepted Answer

जब $x < 0$, $f(x) = \frac{x}{|x|} = \frac{x}{-x} = -1$

जब $x \geq 0$, $f(x) = -1$

इस प्रकार, $f(x) = -1$ सभी $x$ के लिए है। अतः यह फलन सभी बिंदुओं पर निरंतर है।

अतः कोई असांतत्य बिंदु नहीं है। — दोनों भागों में फलन का मान समान है, इसलिए निरंतर है।

Question 15

$f(x) = \begin{cases} x + 1, & 	ext{यदि } x \geq 1 \ x^2 + 1, & 	ext{यदि } x < 1 \end{cases}$ के सभी असांतत्य के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए।

Accepted Answer

सांतत्य की जाँच $x=1$ पर करते हैं:

$f(1) = 1 + 1 = 2$

$\lim_{x 	o 1^-} f(x) = 1^2 + 1 = 2$

$\lim_{x 	o 1^+} f(x) = 1 + 1 = 2$

तीनों मान समान हैं, अतः $x=1$ पर निरंतर है।

अन्य सभी बिंदुओं पर दोनों भाग निरंतर हैं। अतः कोई असांतत्य बिंदु नहीं है। — दोनों ओर की सीमाएँ और फलन का मान $x=1$ पर समान हैं, अतः निरंतर है।

Chapter 5

Chapter 5 — अध्ययन नोट्स

सांतत्य (Continuity)

निरंतरता के प्रकार (Types of Continuity)

फलनों की सांतत्य की जाँच (Checking Continuity of Functions)

अभ्यास प्रश्न — Chapter 5

Ganit-I के सभी 6 अध्याय