सांतत्य तथा अवकलनीयता | Class 12 Mathematics Notes

हल: (i) f(x) = x^2 पर x = 2 पर सांतत्य की जाँच: 1. f(2) = (2)^2 = 4 2. बाएँ सीमा: lim_{x→2^-} f(x) = lim_{x→2^-} x^2 = 4 3. दाएँ सीमा: lim_{x→2^+} f(x) = lim_{x→2^+} x^2 = 4 चूँकि बाएँ सीमा = दाएँ सीमा = f(2), अतः फलन x = 2 पर सांतत है।

(ii) f(x) = { x, x < 2; 4, x ≥ 2 } 1. f(2) = 4 2. बाएँ सीमा: lim_{x→2^-} f(x) = lim_{x→2^-} x = 2 3. दाएँ सीमा: lim_{x→2^+} f(x) = lim_{x→2^+} 4 = 4 यहाँ बाएँ सीमा ≠ दाएँ सीमा, अतः फलन x = 2 पर सांतत नहीं है।

हल: हम जानते हैं कि बहुपद फलन सभी वास्तविक संख्याओं पर सांतत होते हैं। यहाँ f(x) = x^3 - 3x + 2 एक बहुपद फलन है। अतः f(x) सभी वास्तविक संख्याओं पर सांतत है।

वैकल्पिक रूप से, किसी भी x = a के लिए, lim_{x→a} f(x) = f(a) क्योंकि बहुपद फलन की सीमा और उसका मान बराबर होते हैं। अतः सिद्ध हुआ।

हल: f(x) = |x| 1. f(0) = |0| = 0 2. बाएँ सीमा: lim_{x→0^-} |x| = lim_{x→0^-} -x = 0 3. दाएँ सीमा: lim_{x→0^+} |x| = lim_{x→0^+} x = 0 तीनों मान 0 हैं, अतः फलन x = 0 पर सांतत है।

हल: मान लीजिए f(x) x = a पर अवकलनीय है। अर्थात्, \lim_{h\to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \text{ का अस्तित्व है।}

अब, \lim_{x\to a} f(x) = \lim_{h\to 0} f(a+h) = f(a) + \lim_{h\to 0} [f(a+h) - f(a)] यदि \lim_{h\to 0} [f(a+h) - f(a)] = 0, तो \lim_{x\to a} f(x) = f(a)

क्योंकि अवकलनीयता के लिए यह शर्त आवश्यक है, अतः फलन x = a पर सांतत होगा।