सांतत्य तथा अवकलनीयता | Class 12 Mathematics Notes
द्वारा ConceptScroll Team · प्रकाशित 17 जुलाई 2026 · 3 मिनट का पठन
सांतत्य तथा अवकलनीयता – this guide gives you a concise, exam-ready overview of सांतत्य तथा अवकलनीयता from Class 12 Mathematics, written by ConceptScroll editors and reviewed against the latest NCERT textbook.
सांतत्य (Continuity)
सांतत्य गणित की एक मूलभूत अवधारणा है जो फलनों के व्यवहार को समझने में सहायता करती है। किसी फलन f(x) को बिंदु x = a पर निरंतर (continuous) कहा जाता है यदि उस बिंदु पर फलन का मान, बाएँ से सीमा (limit from left) और दाएँ से सीमा (limit from right) तीनों बराबर हों। अर्थात्, यदि lim x→a⁻ f(x) = lim x→a⁺ f(x) = f(a), तो फलन f(x) बिंदु x = a पर निरंतर है। इसका अर्थ है कि फलन में उस बिंदु पर कोई विराम, छलांग या टूटाव नहीं होता। निरंतर फलन ग्राफ पर बिना किसी टूट-फूट के एक सतत रेखा के रूप में प्रदर्शित होता है। निरंतरता का अध्ययन फलनों के व्यवहार को समझने, उनकी सीमा निकालने, और अवकलनीयता के लिए आधार तैयार करने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।
📊 Diagram: इस खंड में एक ग्राफ दिया गया है जिसमें एक फलन f(x) को बिंदु x = a पर निरंतर दिखाया गया है। ग्राफ में बाएँ और दाएँ से सीमा तथा फलन का मान एक ही बिंदु पर मेल खाते हैं, जिससे स्पष्ट होता है कि फलन निरंतर है। (देखें figure_1)
🧪 Activity: छात्रों को एक सरल फलन के विभिन्न बिंदुओं पर बाएँ और दाएँ सीमाएँ निकालने और फलन के मान से तुलना करने के लिए कहा जाता है ताकि वे निरंतरता की जाँच कर सकें।
🔗 Connection: यह खंड अवकलनीयता की अवधारणा से जुड़ता है, क्योंकि अवकलनीयता के लिए निरंतरता आवश्यक शर्त होती है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
1. निम्नलिखित फलनों की x = 2 पर सांतत्य की जाँच कीजिए: (i) f(x) = x^2 (ii) f(x) = { x, x < 2; 4, x ≥ 2 }
हल: (i) f(x) = x^2 पर x = 2 पर सांतत्य की जाँच: 1. f(2) = (2)^2 = 4 2. बाएँ सीमा: lim_{x→2^-} f(x) = lim_{x→2^-} x^2 = 4 3. दाएँ सीमा: lim_{x→2^+} f(x) = lim_{x→2^+} x^2 = 4 चूँकि बाएँ सीमा = दाएँ सीमा = f(2), अतः फलन x = 2 पर सांतत है।
(ii) f(x) = { x, x < 2; 4, x ≥ 2 } 1. f(2) = 4 2. बाएँ सीमा: lim_{x→2^-} f(x) = lim_{x→2^-} x = 2 3. दाएँ सीमा: lim_{x→2^+} f(x) = lim_{x→2^+} 4 = 4 यहाँ बाएँ सीमा ≠ दाएँ सीमा, अतः फलन x = 2 पर सांतत नहीं है।
2. सिद्ध कीजिए कि f(x) = x^3 - 3x + 2 सभी वास्तविक संख्याओं के लिए सांतत है।
हल: हम जानते हैं कि बहुपद फलन सभी वास्तविक संख्याओं पर सांतत होते हैं। यहाँ f(x) = x^3 - 3x + 2 एक बहुपद फलन है। अतः f(x) सभी वास्तविक संख्याओं पर सांतत है।
वैकल्पिक रूप से, किसी भी x = a के लिए, lim_{x→a} f(x) = f(a) क्योंकि बहुपद फलन की सीमा और उसका मान बराबर होते हैं। अतः सिद्ध हुआ।
3. यदि f(x) = |x|, तो x = 0 पर सांतत्य की जाँच कीजिए।
हल: f(x) = |x| 1. f(0) = |0| = 0 2. बाएँ सीमा: lim_{x→0^-} |x| = lim_{x→0^-} -x = 0 3. दाएँ सीमा: lim_{x→0^+} |x| = lim_{x→0^+} x = 0 तीनों मान 0 हैं, अतः फलन x = 0 पर सांतत है।
4. सिद्ध कीजिए कि यदि कोई फलन x = a पर अवकलनीय है, तो वह बिंदु पर सांतत भी होगा।
हल: मान लीजिए f(x) x = a पर अवकलनीय है। अर्थात्, \lim_{h\to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \text{ का अस्तित्व है।}
अब, \lim_{x\to a} f(x) = \lim_{h\to 0} f(a+h) = f(a) + \lim_{h\to 0} [f(a+h) - f(a)] यदि \lim_{h\to 0} [f(a+h) - f(a)] = 0, तो \lim_{x\to a} f(x) = f(a)
क्योंकि अवकलनीयता के लिए यह शर्त आवश्यक है, अतः फलन x = a पर सांतत होगा।
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