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सारणिक | Class 12 Mathematics Notes

द्वारा ConceptScroll Team · प्रकाशित 17 जुलाई 2026 · 3 मिनट का पठन

सारणिक – this guide gives you a concise, exam-ready overview of सारणिक from Class 12 Mathematics, written by ConceptScroll editors and reviewed against the latest NCERT textbook.

4.4 उपसारणिक और सहखंड (Minor and Co-factor)

इस अनुभाग में उपसारणिक और सहखंड की परिभाषा तथा उनके उपयोग को विस्तार से समझाया गया है। किसी n×n आव्यूह A के अवयव a_{ij} का उपसारणिक M_{ij} उस सारणिक को कहते हैं जो A की iवीं पंक्ति और jवें स्तंभ को हटाने पर बचता है। उपसारणिक n-1 कोटि का सारणिक होता है। सहखंड A_{ij} को (-1)^{i+j} × M_{ij} से परिभाषित किया जाता है। सहखंडों का प्रयोग सारणिक के प्रसरण में किया जाता है। उदाहरण के लिए, 3×3 सारणिक के लिए किसी पंक्ति के अनुदिश प्रसरण में सारणिक का मान अवयवों और उनके सहखंडों के गुणनफल के योग के बराबर होता है। इसके अलावा, यदि किसी पंक्ति के अवयवों को दूसरी पंक्ति के सहखंडों से गुणा करके जोड़ा जाए तो परिणाम शून्य होता है। इस अनुभाग में कई उदाहरणों के माध्यम से उपसारणिक और सहखंड की गणना और उनके गुणों को स्पष्ट किया गया है।

📊 Diagram: इस अनुभाग में कोई चित्र नहीं है।

🧪 Activity: इस अनुभाग में कोई विशेष गतिविधि नहीं है।

🔗 Connection: यह अनुभाग सहखंडज और व्युत्क्रम की अवधारणा के लिए आधार तैयार करता है, जो अगले अनुभाग 4.5 में विस्तार से समझाया गया है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

x का मान ज्ञात करें कि बिंदु (0,3), (1, x), (4,1) समवर्ती हैं?

-3/2

1. सिद्ध कीजिए कि सारणिक \[ \begin{bmatrix} x & \sin \theta & \cos \theta \\ -\sin \theta & -x & 1 \\ \cos \theta & 1 & x \end{bmatrix} \] , θ से स्वतंत्र है।

हल: दिया गया सारणिक है: \[ \Delta = \begin{vmatrix} x & \sin \theta & \cos \theta \\ -\sin \theta & -x & 1 \\ \cos \theta & 1 & x \end{vmatrix} \] इसे विस्तार से हल करते हैं: \[ = x \begin{vmatrix} -x & 1 \\ 1 & x \end{vmatrix} - (\sin \theta) \begin{vmatrix} -\sin \theta & 1 \\ \cos \theta & x \end{vmatrix} + (\cos \theta) \begin{vmatrix} -\sin \theta & -x \\ \cos \theta & 1 \end{vmatrix} \] पहला सहायक सारणिक: \[ \begin{vmatrix} -x & 1 \\ 1 & x \end{vmatrix} = (-x)(x) - (1)(1) = -x^2 - 1 \] दूस

2. निम्नलिखित सारणिक का मान ज्ञात कीजिए: \[ \begin{bmatrix} \cos \alpha & \cos \beta & \cos \alpha \sin \beta \\ -\sin \beta & \cos \beta & 0 \\ \sin \alpha & \cos \beta & \sin \alpha \sin \beta & \cos \alpha \end{bmatrix} \]

हल: दिया गया सारणिक: \[ \Delta = \begin{vmatrix} \cos \alpha & \cos \beta & \cos \alpha \sin \beta \\ -\sin \beta & \cos \beta & 0 \\ \sin \alpha & \cos \beta & \sin \alpha \sin \beta & \cos \alpha \end{vmatrix} \] (नोट: प्रश्न में सारणिक की प्रविष्टियाँ अस्पष्ट हैं, लेकिन मान निकालने के लिए सामान्य विधि का उपयोग करें।)

सारणिक के विस्तार द्वारा मान ज्ञात करें। यदि प्रविष्टियाँ स्पष्ट नहीं हैं, तो प्रश्न के अनुसार विस्तार करें।

(यदि यह 3x3 सारणिक है, तो विस्तार करें; यदि 4x4 है, तो उपयुक्त विधि

3. यदि \[ A^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 1 \\ -15 & 6 & -5 \\ 5 & -2 & 2 \end{bmatrix} \] और \[ B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \end{bmatrix} \] तो (AB)^{-1} का मान ज्ञात कीजिए।

हल: हमें ज्ञात है कि (AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1} यहाँ A^{-1} दिया गया है, अतः पहले B^{-1} ज्ञात करें।

B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \end{bmatrix}

B^{-1} = \frac{1}{|B|} \text{adj} B

1. |B| ज्ञात करें: |B| = 1 \begin{vmatrix} 3 & 0 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} + (-2) \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 0 & -2 \end{vmatrix}

= 1(31 - 0(-2)) - 2((-1)1 - 00) + (-2)((-1)(-2) - 30) = 1(3) - 2(-1) + (-2)(2) = 3 + 2 - 4 = 1

2. अब ad

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