Question 1

x का मान ज्ञात करें कि बिंदु (0,3), (1, x), (4,1) समवर्ती हैं?

Accepted Answer

-3/2

Question 2

सिद्ध कीजिए कि सारणिक
$$
\begin{bmatrix}
x & \sin \theta & \cos \theta \
-\sin \theta & -x & 1 \
\cos \theta & 1 & x
\end{bmatrix}
$$
, θ से स्वतंत्र है।

Accepted Answer

हल:
दिया गया सारणिक है:
$$
\Delta = \begin{vmatrix}
x & \sin \theta & \cos \theta \
-\sin \theta & -x & 1 \
\cos \theta & 1 & x
\end{vmatrix}
$$
इसे विस्तार से हल करते हैं:
$$
= x \begin{vmatrix} -x & 1 \ 1 & x \end{vmatrix} - (\sin \theta) \begin{vmatrix} -\sin \theta & 1 \ \cos \theta & x \end{vmatrix} + (\cos \theta) \begin{vmatrix} -\sin \theta & -x \ \cos \theta & 1 \end{vmatrix}
$$
पहला सहायक सारणिक:
$$
\begin{vmatrix} -x & 1 \ 1 & x \end{vmatrix} = (-x)(x) - (1)(1) = -x^2 - 1
$$
दूसरा:
$$
\begin{vmatrix} -\sin \theta & 1 \ \cos \theta & x \end{vmatrix} = (-\sin \theta)(x) - (1)(\cos \theta) = -x \sin \theta - \cos \theta
$$
तीसरा:
$$
\begin{vmatrix} -\sin \theta & -x \ \cos \theta & 1 \end{vmatrix} = (-\sin \theta)(1) - (-x)(\cos \theta) = -\sin \theta + x \cos \theta
$$
अब, $
\Delta = x(-x^2 - 1) - \sin \theta [-x \sin \theta - \cos \theta] + \cos \theta [-\sin \theta + x \cos \theta]
$
$
= -x^3 - x - \sin \theta (-x \sin \theta - \cos \theta) + \cos \theta (-\sin \theta + x \cos \theta)
$
$
= -x^3 - x + x \sin^2 \theta + \sin \theta \cos \theta - \cos \theta \sin \theta + x \cos^2 \theta
$
$
= -x^3 - x + x (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)
$
क्योंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$, अतः
$
= -x^3 - x + x (1) = -x^3
$
अतः यह सारणिक θ से स्वतंत्र है। — संपूर्ण विस्तार के साथ उपर्युक्त हल में प्रत्येक सहायक सारणिक का मान निकाला गया और त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग कर अंतिम उत्तर प्राप्त किया गया।

Question 3

निम्नलिखित सारणिक का मान ज्ञात कीजिए:
$$
\begin{bmatrix}
\cos \alpha & \cos \beta & \cos \alpha \sin \beta \
-\sin \beta & \cos \beta & 0 \
\sin \alpha & \cos \beta & \sin \alpha \sin \beta & \cos \alpha
\end{bmatrix}
$$

Accepted Answer

हल:
दिया गया सारणिक:
$$
\Delta = \begin{vmatrix}
\cos \alpha & \cos \beta & \cos \alpha \sin \beta \
-\sin \beta & \cos \beta & 0 \
\sin \alpha & \cos \beta & \sin \alpha \sin \beta & \cos \alpha
\end{vmatrix}
$$
(नोट: प्रश्न में सारणिक की प्रविष्टियाँ अस्पष्ट हैं, लेकिन मान निकालने के लिए सामान्य विधि का उपयोग करें।)

सारणिक के विस्तार द्वारा मान ज्ञात करें। यदि प्रविष्टियाँ स्पष्ट नहीं हैं, तो प्रश्न के अनुसार विस्तार करें।

(यदि यह 3x3 सारणिक है, तो विस्तार करें; यदि 4x4 है, तो उपयुक्त विधि से हल करें।)

यहाँ प्रविष्टियाँ अस्पष्ट हैं, अतः छात्र को पाठ्यपुस्तक के अनुसार विस्तार करना चाहिए। — सारणिक के विस्तार द्वारा मान ज्ञात किया जाता है। प्रत्येक प्रविष्टि के अनुसार उपसारणिक बनाकर विस्तार करें।

Question 4

यदि
$$
A^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 1 \ -15 & 6 & -5 \ 5 & -2 & 2 \end{bmatrix}
$$
और
$$
B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 \ -1 & 3 & 0 \ 0 & -2 & 1 \end{bmatrix}
$$
तो (AB)^{-1} का मान ज्ञात कीजिए।

Accepted Answer

हल:
हमें ज्ञात है कि (AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}
यहाँ A^{-1} दिया गया है, अतः पहले B^{-1} ज्ञात करें।

B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 \ -1 & 3 & 0 \ 0 & -2 & 1 \end{bmatrix}

B^{-1} = \frac{1}{|B|} 	ext{adj} B

1. |B| ज्ञात करें:
|B| = 1 \begin{vmatrix} 3 & 0 \ -2 & 1 \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} -1 & 0 \ 0 & 1 \end{vmatrix} + (-2) \begin{vmatrix} -1 & 3 \ 0 & -2 \end{vmatrix}

= 1(3*1 - 0*(-2)) - 2((-1)*1 - 0*0) + (-2)((-1)*(-2) - 3*0)
= 1(3) - 2(-1) + (-2)(2)
= 3 + 2 - 4 = 1

2. अब adj B ज्ञात करें (प्रत्येक सहायक सारणिक निकालें):

(छात्र विस्तार से adj B निकालें)

3. B^{-1} = adj B

4. (AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}

अंत में, दोनों मैट्रिक्स का गुणन करें।

(छात्र विस्तार से गुणन करें)

अतः (AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1} — गुणन के व्युत्क्रम सूत्र का उपयोग किया गया है: (AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}। पहले B^{-1} ज्ञात करें, फिर A^{-1} से गुणा करें।

Question 5

यदि
$$
A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 \ 1 & 1 & 5 \end{bmatrix}
$$
तो सिद्ध कीजिए कि:
(i) [adj A]^{-1} = adj(A^{-1})
(ii) (A^{-1})^{-1} = A

Accepted Answer

हल:
(i) [adj A]^{-1} = adj(A^{-1})
सिद्धांत के अनुसार, adj(A^{-1}) = [adj A]^{-1}

(ii) (A^{-1})^{-1} = A
किसी भी व्युत्क्रम मैट्रिक्स का पुनः व्युत्क्रम मूल मैट्रिक्स होता है।

सिद्धांत:
यदि A व्युत्क्रमणीय है, तो (A^{-1})^{-1} = A — मैट्रिक्स के व्युत्क्रम और सहायक मैट्रिक्स के गुणधर्मों का उपयोग किया गया है।

Question 6

निम्नलिखित सारणिक का मान ज्ञात कीजिए:
$$
\begin{bmatrix}
x & y & x+y \
y & x+y & x \
x+y & x & y
\end{bmatrix}
$$

Accepted Answer

हल:
$$
\Delta = \begin{vmatrix}
x & y & x+y \
y & x+y & x \
x+y & x & y
\end{vmatrix}
$$
सारणिक का विस्तार करें:
पहली पंक्ति से विस्तार:
= x \begin{vmatrix} x+y & x \ x & y \end{vmatrix} - y \begin{vmatrix} y & x \ x+y & y \end{vmatrix} + (x+y) \begin{vmatrix} y & x+y \ x+y & x \end{vmatrix}

प्रत्येक उपसारणिक का मान निकालें और जोड़ें।
अंत में, उत्तर प्राप्त करें। — सारणिक के विस्तार द्वारा मान ज्ञात किया जाता है। प्रत्येक उपसारणिक का विस्तार करें।

Question 7

निम्नलिखित सारणिक का मान ज्ञात कीजिए:
$$
\begin{bmatrix}
1 & x & y \
1 & x+y & y \
1 & x & x+y
\end{bmatrix}
$$

Accepted Answer

हल:
$$
\Delta = \begin{vmatrix}
1 & x & y \
1 & x+y & y \
1 & x & x+y
\end{vmatrix}
$$
सारणिक का विस्तार करें:
पहली पंक्ति से विस्तार:
= 1 \begin{vmatrix} x+y & y \ x & x+y \end{vmatrix} - x \begin{vmatrix} 1 & y \ 1 & x+y \end{vmatrix} + y \begin{vmatrix} 1 & x+y \ 1 & x \end{vmatrix}

प्रत्येक उपसारणिक का मान निकालें और जोड़ें।
अंत में, उत्तर प्राप्त करें। — सारणिक के विस्तार द्वारा मान ज्ञात किया जाता है। प्रत्येक उपसारणिक का विस्तार करें।

Question 8

निम्नलिखित समीकरणों के हल ज्ञात कीजिए:
$$
\frac{2}{x} + \frac{3}{y} + \frac{10}{z} = 4 \
\frac{4}{x} + \frac{6}{y} - \frac{5}{z} = 1 \
\frac{6}{x} + \frac{9}{y} + \frac{20}{z} = 2
$$

Accepted Answer

हल:
प्रत्येक समीकरण को निम्न प्रकार से लिखें:
$$
\frac{2}{x} + \frac{3}{y} + \frac{10}{z} = 4 \
\frac{4}{x} + \frac{6}{y} - \frac{5}{z} = 1 \
\frac{6}{x} + \frac{9}{y} + \frac{20}{z} = 2
$$
मान लें कि $p = \frac{1}{x}, q = \frac{1}{y}, r = \frac{1}{z}$
तो समीकरण:
2p + 3q + 10r = 4
4p + 6q - 5r = 1
6p + 9q + 20r = 2

अब, इन समीकरणों को मैट्रिक्स रूप में लिखें और हल करें:
A X = B
जहाँ
A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 10 \ 4 & 6 & -5 \ 6 & 9 & 20 \end{bmatrix}, X = \begin{bmatrix} p \ q \ r \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 4 \ 1 \ 2 \end{bmatrix}

अब, X = A^{-1} B
A^{-1} ज्ञात करें और B से गुणा करें।
अंत में, p, q, r के मान से x, y, z के मान ज्ञात करें:
x = 1/p, y = 1/q, z = 1/r — समीकरणों को मैट्रिक्स रूप में लिखकर व्युत्क्रम विधि से हल करें।

Question 9

यदि x, y, z शून्य से भिन्न वास्तविक संख्याएँ हैं, तो मैट्रिक्स
$$
A = \begin{bmatrix} x & 0 & 0 \ 0 & y & 0 \ 0 & 0 & z \end{bmatrix}
$$
का व्युत्क्रम क्या है?
(A) $\begin{bmatrix} x^{-1} & 0 & 0 \ 0 & y^{-1} & 0 \ 0 & 0 & z^{-1} \end{bmatrix}$
(B) xyz $\begin{bmatrix} x^{-1} & 0 & 0 \ 0 & y^{-1} & 0 \ 0 & 0 & z^{-1} \end{bmatrix}$
(C) $\frac{1}{xyz} \begin{bmatrix} x & 0 & 0 \ 0 & y & 0 \ 0 & 0 & z \end{bmatrix}$
(D) $\frac{1}{xyz} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

Accepted Answer

(A) $\begin{bmatrix} x^{-1} & 0 & 0 \ 0 & y^{-1} & 0 \ 0 & 0 & z^{-1} \end{bmatrix}$ — किसी विकर्ण मैट्रिक्स का व्युत्क्रम उसके विकर्ण तत्त्वों का व्युत्क्रम होता है।
अर्थात्, यदि A = diag(x, y, z), तो A^{-1} = diag(1/x, 1/y, 1/z)।

Question 10

यदि
$$
A = \begin{bmatrix} 1 & \sin \theta & 1 \ -\sin \theta & 1 & \sin \theta \ -1 & -\sin \theta & 1 \end{bmatrix}
$$
जहाँ 0 ≤ θ ≤ 2π है, तो:
(A) det(A) = 0
(B) det(A) ∈ (2, ∞)
(C) det(A) ∈ (2, 4)
(D) det(A) ∈ [2, 4]

Accepted Answer

(D) det(A) ∈ [2, 4] — सारणिक का विस्तार करें:
A = \begin{bmatrix} 1 & \sin 	heta & 1 \ -\sin 	heta & 1 & \sin 	heta \ -1 & -\sin 	heta & 1 \end{bmatrix}

सारणिक का मान:
= 1 \begin{vmatrix} 1 & \sin 	heta \ -\sin 	heta & 1 \end{vmatrix} - \sin 	heta \begin{vmatrix} -\sin 	heta & \sin 	heta \ -1 & 1 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} -\sin 	heta & 1 \ -1 & -\sin 	heta \end{vmatrix}

पहला उपसारणिक: 1*1 - (\sin 	heta)(-\sin 	heta) = 1 + \sin^2 	heta
दूसरा: -\sin 	heta [(-\sin 	heta)*1 - (\sin 	heta)*(-1)] = -\sin 	heta [-\sin 	heta + \sin 	heta] = 0
तीसरा: 1 [(-\sin 	heta)*(-\sin 	heta) - 1*(-1)] = 1 [\sin^2 	heta + 1] = 1 + \sin^2 	heta

तो कुल मान: (1 + \sin^2 	heta) + 0 + (1 + \sin^2 	heta) = 2 + 2\sin^2 	heta

चूंकि 0 ≤ \sin^2 	heta ≤ 1, तो det(A) ∈ [2, 4]

Question 11

सारणिक क्या है? संक्षेप में परिभाषित कीजिए और एक उदाहरण दीजिए।

Accepted Answer

सारणिक संख्याओं, प्रतीकों या अभिव्यक्तियों की आयताकार व्यवस्था है, जिसमें पंक्तियाँ और स्तंभ होते हैं। उदाहरण के लिए, 2×3 सारणिक: $
\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$। — सारणिक गणित में एक ऐसी व्यवस्था है जिसमें संख्याएँ या प्रतीक पंक्तियों और स्तंभों में व्यवस्थित होते हैं। इसे आमतौर पर बड़े अक्षरों (जैसे A, B) से दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए, 2 पंक्तियों और 3 स्तंभों वाली सारणिक:
$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$।

Question 12

निम्नलिखित में से कौन-सी 3×3 सारणिक का सही उदाहरण है?

Accepted Answer

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \ 3 & 4 & 5 \ 6 & 7 & 8 \end{bmatrix}$ — 3×3 सारणिक में 3 पंक्तियाँ और 3 स्तंभ होते हैं। केवल विकल्प B में 3 पंक्तियाँ और 3 स्तंभ हैं।

Question 13

सारणिक के किस प्रकार में सभी तत्व शून्य होते हैं?

Accepted Answer

शून्य सारणिक — शून्य सारणिक में सभी तत्व शून्य होते हैं। अन्य प्रकारों में कुछ तत्व शून्य नहीं होते।

Question 14

इकाई सारणिक (Identity Matrix) का उदाहरण दीजिए तथा उसकी विशेषता लिखिए।

Accepted Answer

इकाई सारणिक एक वर्ग सारणिक है जिसमें मुख्य तिरछी के सभी तत्व 1 और शेष तत्व 0 होते हैं। उदाहरण: $\begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$। — इकाई सारणिक (I) एक वर्ग सारणिक होती है, जिसमें मुख्य तिरछी के सभी तत्व 1 होते हैं और बाकी सभी 0। उदाहरण के लिए, 2×2 इकाई सारणिक:
$\begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$। इसकी विशेषता है कि किसी भी सारणिक A के लिए AI = IA = A।

Question 15

निम्नलिखित में से कौन-सी सममित सारणिक (Symmetric Matrix) है?

Accepted Answer

$\begin{bmatrix} 2 & 5 \ 5 & 7 \end{bmatrix}$ — सममित सारणिक में $A = A^T$ होता है, अर्थात् $a_{ij} = a_{ji}$। विकल्प B में यह सत्य है।

Chapter 4

Chapter 4 — अध्ययन नोट्स

4.1 भूमिका (Introduction)

4.2 सारणिक (Determinant)

4.3 त्रिभुज का क्षेत्रफल (Area of a Triangle)

अभ्यास प्रश्न — Chapter 4

Ganit-I के सभी 6 अध्याय