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सारणिक | Class 12 Mathematics Notes

द्वारा ConceptScroll Team · प्रकाशित 17 जुलाई 2026 · 3 मिनट का पठन

सारणिक – this guide gives you a concise, exam-ready overview of सारणिक from Class 12 Mathematics, written by ConceptScroll editors and reviewed against the latest NCERT textbook.

4.6 सारणिकों और आव्यूहों के अनुप्रयोग (Applications of Determinants and Matrices)

इस अनुभाग में सारणिकों और आव्यूहों के उपयोग से रैखिक समीकरणों के निकायों के हल और उनकी संगतता की जाँच के विषय में बताया गया है। समीकरण निकाय संगत होता है यदि उसका कम से कम एक हल हो, अन्यथा असंगत। यदि आव्यूह A व्युत्क्रमणीय है (|A| ≠ 0), तो समीकरण निकाय का अद्वितीय हल X = A⁻¹ B द्वारा दिया जाता है। यदि |A| = 0 हो, तो (adj A) B के आधार पर निकाय की संगतता या असंगतता का निर्धारण किया जाता है। उदाहरणों के माध्यम से 2 और 3 अज्ञातों वाले समीकरणों के समूह को आव्यूह समीकरण के रूप में लिखकर हल करने की विधि समझाई गई है। इसके अतिरिक्त, व्यावहारिक समस्याओं जैसे वस्तुओं के मूल्य ज्ञात करना भी आव्यूह विधि से किया गया है। इस प्रकार सारणिक और आव्यूह गणितीय समस्याओं के समाधान में अत्यंत उपयोगी उपकरण हैं।

📊 Diagram: इस अनुभाग में कोई चित्र नहीं है।

🧪 Activity: इस अनुभाग में कोई विशेष गतिविधि नहीं है।

🔗 Connection: यह अनुभाग सारणिक और आव्यूह के सिद्धांतों का व्यावहारिक अनुप्रयोग प्रस्तुत करता है, जो अध्याय के अंत में प्रश्नावली में अभ्यास के लिए उपयोगी है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

x का मान ज्ञात करें कि बिंदु (0,3), (1, x), (4,1) समवर्ती हैं?

-3/2

1. सिद्ध कीजिए कि सारणिक \[ \begin{bmatrix} x & \sin \theta & \cos \theta \\ -\sin \theta & -x & 1 \\ \cos \theta & 1 & x \end{bmatrix} \] , θ से स्वतंत्र है।

हल: दिया गया सारणिक है: \[ \Delta = \begin{vmatrix} x & \sin \theta & \cos \theta \\ -\sin \theta & -x & 1 \\ \cos \theta & 1 & x \end{vmatrix} \] इसे विस्तार से हल करते हैं: \[ = x \begin{vmatrix} -x & 1 \\ 1 & x \end{vmatrix} - (\sin \theta) \begin{vmatrix} -\sin \theta & 1 \\ \cos \theta & x \end{vmatrix} + (\cos \theta) \begin{vmatrix} -\sin \theta & -x \\ \cos \theta & 1 \end{vmatrix} \] पहला सहायक सारणिक: \[ \begin{vmatrix} -x & 1 \\ 1 & x \end{vmatrix} = (-x)(x) - (1)(1) = -x^2 - 1 \] दूस

2. निम्नलिखित सारणिक का मान ज्ञात कीजिए: \[ \begin{bmatrix} \cos \alpha & \cos \beta & \cos \alpha \sin \beta \\ -\sin \beta & \cos \beta & 0 \\ \sin \alpha & \cos \beta & \sin \alpha \sin \beta & \cos \alpha \end{bmatrix} \]

हल: दिया गया सारणिक: \[ \Delta = \begin{vmatrix} \cos \alpha & \cos \beta & \cos \alpha \sin \beta \\ -\sin \beta & \cos \beta & 0 \\ \sin \alpha & \cos \beta & \sin \alpha \sin \beta & \cos \alpha \end{vmatrix} \] (नोट: प्रश्न में सारणिक की प्रविष्टियाँ अस्पष्ट हैं, लेकिन मान निकालने के लिए सामान्य विधि का उपयोग करें।)

सारणिक के विस्तार द्वारा मान ज्ञात करें। यदि प्रविष्टियाँ स्पष्ट नहीं हैं, तो प्रश्न के अनुसार विस्तार करें।

(यदि यह 3x3 सारणिक है, तो विस्तार करें; यदि 4x4 है, तो उपयुक्त विधि

3. यदि \[ A^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 1 \\ -15 & 6 & -5 \\ 5 & -2 & 2 \end{bmatrix} \] और \[ B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \end{bmatrix} \] तो (AB)^{-1} का मान ज्ञात कीजिए।

हल: हमें ज्ञात है कि (AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1} यहाँ A^{-1} दिया गया है, अतः पहले B^{-1} ज्ञात करें।

B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \end{bmatrix}

B^{-1} = \frac{1}{|B|} \text{adj} B

1. |B| ज्ञात करें: |B| = 1 \begin{vmatrix} 3 & 0 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} + (-2) \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 0 & -2 \end{vmatrix}

= 1(31 - 0(-2)) - 2((-1)1 - 00) + (-2)((-1)(-2) - 30) = 1(3) - 2(-1) + (-2)(2) = 3 + 2 - 4 = 1

2. अब ad

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