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सारणिक | Class 12 Mathematics Notes

द्वारा ConceptScroll Team · प्रकाशित 17 जुलाई 2026 · 4 मिनट का पठन

सारणिक – this guide gives you a concise, exam-ready overview of सारणिक from Class 12 Mathematics, written by ConceptScroll editors and reviewed against the latest NCERT textbook.

4.5 आव्यूह के सहखंडज और व्युत्क्रम (Adjoint and Inverse of a Matrix)

इस अनुभाग में आव्यूह के सहखंडज (Adjoint) और व्युत्क्रम (Inverse) की परिभाषा, गुण और उनके अस्तित्व की शर्तों को समझाया गया है। किसी n×n वर्ग आव्यूह A का सहखंडज adj A वह आव्यूह होता है जो A के सहखंडों के आव्यूह के परिवर्त (transpose) के रूप में परिभाषित होता है। उदाहरण के लिए, 3×3 आव्यूह A के सहखंडज को सहखंडों के आव्यूह के transpose के रूप में लिखा जाता है। 2×2 आव्यूह के लिए सहखंडज को सरलता से अवयवों के स्थान परिवर्तन और चिह्न परिवर्तन से प्राप्त किया जा सकता है। प्रमेय 1 के अनुसार, A × adj A = adj A × A = |A| × I होता है, जहाँ I इकाई आव्यूह है। यदि |A| = 0 हो तो आव्यूह अव्युत्क्रमणीय (singular) कहलाता है, अन्यथा व्युत्क्रमणीय (non-singular)। व्युत्क्रमणीय आव्यूह का व्युत्क्रम A⁻¹ = (1/|A|) × adj A होता है। इसके अतिरिक्त, व्युत्क्रमणीय आव्यूहों के गुणनफल का व्युत्क्रम उनके क्रमशः व्युत्क्रमों के गुणनफल के समान होता है। इस अनुभाग में कई उदाहरणों द्वारा इन सिद्धांतों को स्पष्ट किया गया है।

📊 Diagram: Figure 4.2 हम बिना उपपत्ति के निम्नलिखित प्रमेय निर्दिष्ट करते हैं।

🧪 Activity: इस अनुभाग में कोई विशेष गतिविधि नहीं है।

🔗 Connection: यह अनुभाग सारणिकों और आव्यूहों के अनुप्रयोगों के लिए आधार तैयार करता है, जो अगले अनुभाग 4.6 में विस्तार से समझाया गया है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

x का मान ज्ञात करें कि बिंदु (0,3), (1, x), (4,1) समवर्ती हैं?

-3/2

1. सिद्ध कीजिए कि सारणिक \[ \begin{bmatrix} x & \sin \theta & \cos \theta \\ -\sin \theta & -x & 1 \\ \cos \theta & 1 & x \end{bmatrix} \] , θ से स्वतंत्र है।

हल: दिया गया सारणिक है: \[ \Delta = \begin{vmatrix} x & \sin \theta & \cos \theta \\ -\sin \theta & -x & 1 \\ \cos \theta & 1 & x \end{vmatrix} \] इसे विस्तार से हल करते हैं: \[ = x \begin{vmatrix} -x & 1 \\ 1 & x \end{vmatrix} - (\sin \theta) \begin{vmatrix} -\sin \theta & 1 \\ \cos \theta & x \end{vmatrix} + (\cos \theta) \begin{vmatrix} -\sin \theta & -x \\ \cos \theta & 1 \end{vmatrix} \] पहला सहायक सारणिक: \[ \begin{vmatrix} -x & 1 \\ 1 & x \end{vmatrix} = (-x)(x) - (1)(1) = -x^2 - 1 \] दूस

2. निम्नलिखित सारणिक का मान ज्ञात कीजिए: \[ \begin{bmatrix} \cos \alpha & \cos \beta & \cos \alpha \sin \beta \\ -\sin \beta & \cos \beta & 0 \\ \sin \alpha & \cos \beta & \sin \alpha \sin \beta & \cos \alpha \end{bmatrix} \]

हल: दिया गया सारणिक: \[ \Delta = \begin{vmatrix} \cos \alpha & \cos \beta & \cos \alpha \sin \beta \\ -\sin \beta & \cos \beta & 0 \\ \sin \alpha & \cos \beta & \sin \alpha \sin \beta & \cos \alpha \end{vmatrix} \] (नोट: प्रश्न में सारणिक की प्रविष्टियाँ अस्पष्ट हैं, लेकिन मान निकालने के लिए सामान्य विधि का उपयोग करें।)

सारणिक के विस्तार द्वारा मान ज्ञात करें। यदि प्रविष्टियाँ स्पष्ट नहीं हैं, तो प्रश्न के अनुसार विस्तार करें।

(यदि यह 3x3 सारणिक है, तो विस्तार करें; यदि 4x4 है, तो उपयुक्त विधि

3. यदि \[ A^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 1 \\ -15 & 6 & -5 \\ 5 & -2 & 2 \end{bmatrix} \] और \[ B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \end{bmatrix} \] तो (AB)^{-1} का मान ज्ञात कीजिए।

हल: हमें ज्ञात है कि (AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1} यहाँ A^{-1} दिया गया है, अतः पहले B^{-1} ज्ञात करें।

B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -2 \\ -1 & 3 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \end{bmatrix}

B^{-1} = \frac{1}{|B|} \text{adj} B

1. |B| ज्ञात करें: |B| = 1 \begin{vmatrix} 3 & 0 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} + (-2) \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 0 & -2 \end{vmatrix}

= 1(31 - 0(-2)) - 2((-1)1 - 00) + (-2)((-1)(-2) - 30) = 1(3) - 2(-1) + (-2)(2) = 3 + 2 - 4 = 1

2. अब ad

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