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प्रायिकता | Class 11 Mathematics Notes

द्वारा ConceptScroll Team · प्रकाशित 17 जुलाई 2026 · 3 मिनट का पठन

प्रायिकता – this guide gives you a concise, exam-ready overview of प्रायिकता from Class 11 Mathematics, written by ConceptScroll editors and reviewed against the latest NCERT textbook.

14.2 प्रायिकता की अभिगृहीतीय दृष्टिकोण (Axiomatic Approach to Probability)

इस अनुभाग में प्रायिकता की अभिगृहीतीय (Axiomatic) परिभाषा प्रस्तुत की गई है, जो प्रायिकता सिद्धांत का आधार है। किसी यादृच्छिक परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि S होता है, और प्रायिकता P एक फलन है जो S के उपसमुच्चयों (घटनाओं) को [0,1] के बीच वास्तविक संख्याएँ देता है। यह फलन निम्नलिखित तीन अभिगृहीतियों (axioms) को संतुष्ट करता है:

(i) किसी भी घटना E के लिए, P(E) ≥ 0

(ii) नमूना स्थान S की प्रायिकता 1 होती है, अर्थात् P(S) = 1

(iii) यदि E और F परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं, तो P(E ∪ F) = P(E) + P(F)

इन नियमों से यह भी सिद्ध होता है कि रिक्त समुच्चय φ की प्रायिकता 0 होती है।

यदि प्रतिदर्श समष्टि S के परिणाम ω₁, ω₂, ..., ωₙ हैं, तो प्रत्येक परिणाम की प्रायिकता P(ωᵢ) होती है, जो 0 और 1 के बीच होती है, और सभी परिणामों की प्रायिकताओं का योग 1 होता है। किसी घटना A की प्रायिकता उन परिणामों की प्रायिकताओं का योग होती है जो A में आते हैं।

इस दृष्टिकोण में प्रायिकता वितरण अनेक प्रकार से किया जा सकता है, जैसे एक सिक्के के लिए P(H) = 1/2 और P(T) = 1/2 या P(H) = 1/4 और P(T) = 3/4।

इस प्रकार, अभिगृहीतीय दृष्टिकोण प्रायिकता की गणितीय संरचना को स्पष्ट करता है और इसके नियमों के आधार पर विभिन्न प्रायिकता निर्धारणों की वैधता जाँची जा सकती है।

📊 Diagram: Table on page 10 (6×7)

🧪 Activity: इस अनुभाग में विभिन्न प्रायिकता निर्धारणों की वैधता जांचने के लिए उदाहरण दिए गए हैं।

🔗 Connection: यह अनुभाग घटना की प्रायिकता की गणना और प्रायिकता के नियमों को समझने के लिए आधार प्रदान करता है।

Table on page 10 (6×7)

परिणाम	$\omega_1$	$\omega_2$	$\omega_3$	$\omega_4$	$\omega_5$	$\omega_6$
(a)	$1/6$	$1/6$	$1/6$	$1/6$	$1/6$	$1/6$
(b)	1	0	0	0	0	0
(c)	$1/8$	$2/3$	$1/3$	$1/3$	$-1/4$	$-1/3$
(d)	$1/12$	$1/12$	$1/6$	$1/6$	$1/6$	$3/2$
(e)	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

एक सिक्के को दो बार उछालने पर प्रतिदर्श समष्टि $S = \{HH, HT, TH, TT\}$ है। घटना E को परिभाषित कीजिए जिसमें "तथ्यत: एक चित्त प्रकट होना" शामिल है। घटना E के उपसमुच्चय को लिखिए।

E = \{HT, TH\}

घटना E को परिभाषित करें जिसमें पासे पर 4 से छोटी संख्या प्रकट होना शामिल हो। यदि पासा पर परिणाम 3 आता है, तो क्या घटना E घटित हुई मानी जाएगी? कारण सहित समझाइए।

घटना E वह घटना है जिसमें पासे पर 4 से छोटी संख्या प्रकट होती है। उदाहरण के लिए E = \{1, 2, 3\}। यदि पासे पर परिणाम 3 आता है, तो 3 ∈ E है, अतः घटना E घटित हुई मानी जाएगी।

असंभव घटना और निश्चित घटना को परिभाषित कीजिए। पासे के उदाहरण के साथ समझाइए कि कौन-सी घटना असंभव है और कौन-सी निश्चित।

असंभव घटना वह होती है जिसका उपसमुच्चय रिक्त होता है, जैसे पासे पर 7 का गुणज आना। निश्चित घटना वह होती है जो हमेशा घटित होती है, जैसे पासे पर सम या विषम संख्या आना। उदाहरण: पासे पर 7 का गुणज आना असंभव घटना है क्योंकि कोई परिणाम नहीं है। पासे पर सम या विषम संख्या आना निश्चित घटना है क्योंकि हर परिणाम सम या विषम होता है।

सरल घटना क्या होती है? एक सिक्के के दो उछालों के परीक्षण के लिए सभी सरल घटनाओं को लिखिए।

सरल घटना वह होती है जिसमें केवल एक ही परिणाम होता है। सिक्के के दो उछालों के लिए सरल घटनाएँ हैं: $E_1 = \{HH\}$, $E_2 = \{HT\}$, $E_3 = \{TH\}$, और $E_4 = \{TT\}$।

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