प्रायिकता | Class 11 Mathematics Notes

14.1 घटना (Event)

इस अनुभाग में हमने यादृच्छिक परीक्षण और उसके प्रतिदर्श समष्टि (Sample Space) के बारे में विस्तार से पढ़ा। किसी परीक्षण का प्रतिदर्श समष्टि उस परीक्षण से संबंधित सभी संभव परिणामों का समूह होता है, जिसे हम S से निरूपित करते हैं। उदाहरण के लिए, एक सिक्के को दो बार उछालने पर संभावित परिणामों का समूह S = {HH, HT, TH, TT} होता है।

घटना (Event) को प्रतिदर्श समष्टि का कोई उपसमुच्चय माना जाता है। उदाहरण के लिए, यदि हमारी रुचि उन परिणामों में है जिनमें एक चित्त (Head) प्रकट होता है, तो इस घटना के अनुकूल परिणाम S के अवयव HT और TH हैं, अतः यह घटना E = {HT, TH} होगी।

घटना का घटित होना तब कहा जाता है जब परीक्षण का परिणाम उस घटना के उपसमुच्चय में आता है। यदि परिणाम ω घटना E में है, तो घटना E घटित हुई मानी जाती है, अन्यथा नहीं।

घटनाओं के प्रकारों में असंभव घटना (Impossible Event), निश्चित घटना (Sure Event), सरल घटना (Simple Event), मिश्र घटना (Compound Event) आदि शामिल हैं। असंभव घटना वह होती है जिसका उपसमुच्चय रिक्त होता है, जैसे पासे पर 7 का गुणज आना। निश्चित घटना वह होती है जो हमेशा घटित होती है, जैसे पासे पर सम या विषम संख्या आना। सरल घटना में केवल एक ही परिणाम होता है, जैसे सिक्के के दो उछालों में HH आना। मिश्र घटना में एक से अधिक परिणाम होते हैं, जैसे न्यूनतम एक चित्त आना।

घटनाओं के बीच विभिन्न बीजगणितीय संबंध होते हैं, जैसे पूरक घटना, सम्मिलन (Union), सर्वनिष्ठ (Intersection), अंतर आदि। पूरक घटना A' वह होती है जिसमें वे सभी परिणाम शामिल होते हैं जो घटना A में नहीं हैं। सम्मिलन A ∪ B वह घटना है जिसमें A या B या दोनों घटित होते हैं। सर्वनिष्ठ A ∩ B वह घटना है जिसमें दोनों A और B घटित होते हैं। अंतर A - B वह घटना है जिसमें A घटित होता है लेकिन B नहीं।

परस्पर अपवर्जक (Mutually Exclusive) घटनाएँ वे होती हैं जिनका कोई सामान्य परिणाम नहीं होता, अर्थात् वे एक साथ घटित नहीं हो सकतीं। उदाहरण के लिए, पासे पर विषम संख्या आना और सम संख्या आना परस्पर अपवर्जक घटनाएँ हैं।

निःशेष (Exhaustive) घटनाएँ वे होती हैं जिनका सम्मिलन पूरा नमूना स्थान कवर करता है, यानी इनमें से कम से कम एक घटना अवश्य घटित होती है। उदाहरण के लिए, पासे पर 4 से छोटी संख्या आना, 2 से बड़ी किंतु 5 से छोटी संख्या आना, और 4 से बड़ी संख्या आना निःशेष घटनाएँ हैं।

इस प्रकार, इस अनुभाग में घटना की परिभाषा, प्रकार, घटनाओं के बीच संबंध, परस्पर अपवर्जक और निःशेष घटनाओं की अवधारणा को विस्तार से समझाया गया है।

📊 Diagram: Table on page 1 (7×2)

🧪 Activity: इस अनुभाग में कोई विशेष गतिविधि नहीं दी गई है।

🔗 Connection: यह अनुभाग प्रायिकता की अभिगृहीतीय दृष्टिकोण की ओर ले जाता है, जहाँ घटनाओं की प्रायिकता को गणितीय नियमों के आधार पर परिभाषित किया जाता है।

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