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सांख्यिकी | Class 11 Mathematics Notes

द्वारा ConceptScroll Team · प्रकाशित 17 जुलाई 2026 · 4 मिनट का पठन

सांख्यिकी – this guide gives you a concise, exam-ready overview of सांख्यिकी from Class 11 Mathematics, written by ConceptScroll editors and reviewed against the latest NCERT textbook.

13.5 प्रसरण और मानक विचलन (Variance and Standard Deviation)

प्रसरण (Variance) और मानक विचलन (Standard Deviation) आँकड़ों के फैलाव की गणितीय और अधिक सटीक माप हैं। माध्य विचलन में विचलनों के निरपेक्ष मानों का उपयोग किया जाता है, जो गणितीय रूप से सरल नहीं होता। इसलिए, प्रसरण और मानक विचलन को विकसित किया गया।

प्रसरण को प्रेक्षणों के माध्य से विचलनों के वर्गों का औसत कहा जाता है। यदि प्रेक्षण x_1, x_2, ..., x_n हैं और उनका माध्य x̄ है, तो प्रसरण σ² निम्नलिखित है:

σ² = (1/n) Σ (x_i – x̄)²

प्रसरण का वर्गमूल मानक विचलन कहलाता है:

σ = √σ² = √[(1/n) Σ (x_i – x̄)²]

मानक विचलन का उपयोग आँकड़ों के फैलाव की वास्तविक इकाई में माप के लिए किया जाता है।

इस खंड में उदाहरणों के माध्यम से अवर्गीकृत, असतत बारंबारता बंटन और सतत बारंबारता बंटन के लिए प्रसरण और मानक विचलन की गणना विधि समझाई गई है। साथ ही, पद विचलन विधि के माध्यम से लघु विधि भी प्रस्तुत की गई है, जिससे बड़े मानों वाले आँकड़ों के लिए गणना सरल हो जाती है।

प्रसरण और मानक विचलन के सूत्रों के अतिरिक्त, यह भी बताया गया है कि यदि प्रेक्षणों को किसी संख्या से गुणा या जोड़ दिया जाए तो प्रसरण और मानक विचलन पर इसका क्या प्रभाव पड़ता है।

📊 Diagram: Figure 6: आकृति 13.5; Figure 7: आकृति 13.6

🧪 Activity: प्रसरण और मानक विचलन की गणना विभिन्न प्रकार के आँकड़ों के लिए।

🔗 Connection: प्रसरण और मानक विचलन के बाद, अध्याय के अंत में प्रश्नावली और सारांश प्रस्तुत हैं।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

1. आठ प्रेक्षणों का औसत तथा विचरण क्रमशः 9 तथा 9.25 हैं। यदि इनमें से छह प्रेक्षण 6, 7, 10, 12, 12 तथा 13 हैं, तो शेष दो प्रेक्षण ज्ञात कीजिए।

दी गई जानकारी: प्रेक्षणों की संख्या (n) = 8 औसत (x̄) = 9 विचरण (σ²) = 9.25 छः प्रेक्षण: 6, 7, 10, 12, 12, 13 मान लीजिए शेष दो प्रेक्षण x और y हैं।

1. औसत के अनुसार: (6 + 7 + 10 + 12 + 12 + 13 + x + y)/8 = 9 ⇒ (60 + x + y)/8 = 9 ⇒ 60 + x + y = 72 ⇒ x + y = 12

2. विचरण के अनुसार: विचरण σ² = [Σ(xᵢ - x̄)²]/n Σ(xᵢ²) = 6² + 7² + 10² + 12² + 12² + 13² + x² + y² = 36 + 49 + 100 + 144 + 144 + 169 + x² + y² = 642 + x² + y²

विचरण: σ² = [Σ(xᵢ²)/n] - (x̄)² 9.25 = [(642 + x² + y²)/8] - (9)² 9.25 = [(642 +

2. सात प्रेक्षणों का औसत तथा विचरण क्रमशः 8 तथा 16 हैं। यदि इनमें से पाँच प्रेक्षण 2, 4, 10, 12, 14 हैं, तो शेष दो प्रेक्षण ज्ञात कीजिए।

दी गई जानकारी: प्रेक्षणों की संख्या (n) = 7 औसत (x̄) = 8 विचरण (σ²) = 16 पाँच प्रेक्षण: 2, 4, 10, 12, 14 मान लीजिए शेष दो प्रेक्षण x और y हैं।

1. औसत के अनुसार: (2 + 4 + 10 + 12 + 14 + x + y)/7 = 8 ⇒ (42 + x + y)/7 = 8 ⇒ 42 + x + y = 56 ⇒ x + y = 14

2. विचरण के अनुसार: Σ(xᵢ²) = 2² + 4² + 10² + 12² + 14² + x² + y² = 4 + 16 + 100 + 144 + 196 + x² + y² = 460 + x² + y²

विचरण: σ² = [Σ(xᵢ²)/n] - (x̄)² 16 = [(460 + x² + y²)/7] - 64 ⇒ (460 + x² + y²)/7 = 80 ⇒ 460 + x² + y² = 560 ⇒ x² + y² = 100

अब x

3. चार प्रेक्षणों का औसत तथा मानक विचरण क्रमशः 8 तथा 4 हैं। यदि प्रत्येक प्रेक्षण को 3 से गुणा कर दिया जाए, तो परिणामी प्रेक्षणों का औसत और मानक विचरण ज्ञात कीजिए।

दी गई जानकारी: औसत (x̄) = 8 मानक विचरण (σ) = 4 प्रेक्षणों की संख्या (n) = 4

यदि प्रत्येक प्रेक्षण को 3 से गुणा किया जाए: नए प्रेक्षण: 3x₁, 3x₂, 3x₃, 3x₄

नया औसत = 3 × पुराना औसत = 3 × 8 = 24 नया मानक विचरण = 3 × पुराना मानक विचरण = 3 × 4 = 12

अतः परिणामी प्रेक्षणों का औसत 24 और मानक विचरण 12 है।

4. यदि n प्रेक्षण x₁, x₂, ..., xₙ का औसत x̄ तथा विचरण σ² हैं, तो सिद्ध कीजिए कि प्रेक्षणों ax₁, ax₂, ..., axₙ का औसत तथा विचरण क्रमशः ax̄ तथा a²σ² (a ≠ 0) हैं।

सिद्ध करने के लिए:

माना n प्रेक्षण x₁, x₂, ..., xₙ का औसत x̄ तथा विचरण σ² है।

नए प्रेक्षण: ax₁, ax₂, ..., axₙ

नया औसत: = (ax₁ + ax₂ + ... + axₙ)/n = a(x₁ + x₂ + ... + xₙ)/n = a x̄

नया विचरण: = [Σ(axᵢ - ax̄)²]/n = [Σa²(xᵢ - x̄)²]/n = a² [Σ(xᵢ - x̄)²]/n = a² σ²

अतः सिद्ध हुआ कि नए औसत ax̄ तथा नया विचरण a²σ² है।

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