शंकु परिच्छेद | Class 11 Mathematics Notes
द्वारा ConceptScroll Team · प्रकाशित 17 जुलाई 2026 · 4 मिनट का पठन
शंकु परिच्छेद – this guide gives you a concise, exam-ready overview of शंकु परिच्छेद from Class 11 Mathematics, written by ConceptScroll editors and reviewed against the latest NCERT textbook.
10.5 दीर्घवृत्त (Ellipse)
दीर्घवृत्त तल के उन बिंदुओं का समुच्चय है जिनका दो स्थिर बिंदुओं (नाभि) से दूरी का योग अचर होता है। नाभियों को मिलाने वाले रेखाखंड के मध्य बिंदु को दीर्घवृत्त का केंद्र कहते हैं। दीर्घवृत्त के दीर्घ अक्ष और लघु अक्ष की लंबाई क्रमशः 2a और 2b होती है, तथा नाभियों के बीच की दूरी 2c होती है। इनके बीच संबंध a² = b² + c² होता है। दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता e = c/a होती है। यदि दीर्घवृत्त का केंद्र मूल बिंदु पर हो और नाभियाँ x-अक्ष पर हों, तो इसका मानक समीकरण (x²/a²) + (y²/b²) = 1 होता है।
📊 Diagram: नाभियों को मिलाने वाले रेखाखंड के मध्य बिंदु को दीर्घवृत्त का केंद्र कहते हैं। दीर्घवृत्त की नाभियों से जाने वाला रेखाखंड, दीर्घवृत्त का दीर्घ अक्ष (Major axis) कहलाता है और केंद्र से जाने; आकृति 10.23; आकृति 10.24; आकृति 10.25
🔗 Connection: अगले अनुभाग में अतिपरवलय की परिभाषा, मानक समीकरण और गुणों का अध्ययन किया जाएगा।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
lcls yack rkj 30 ehVj vkSj lcls NksVk rkj 6 ehVj gSA eè; ls 18 ehVj nwj lM+d iFk ls tqM+s leFkZd (supporting) rkj dh yackbZ Kkr dhft,A
दी गई जानकारी के अनुसार: सबसे बड़ा रेखा = 30 सेमी सबसे छोटी रेखा = 6 सेमी बीच से 18 सेमी दूर सड़क पथ से जुड़ी सहायक रेखा की लंबाई ज्ञात करनी है।
मान लीजिए कि सबसे बड़ी रेखा और सबसे छोटी रेखा एक वृत्त के दो समान्तर जीवा हैं, जिनकी लंबाई क्रमशः 30 सेमी और 6 सेमी है। इन दोनों के बीच की दूरी 18 सेमी है।
मान लीजिए कि वृत्त का केंद्र O है, सबसे बड़ी जीवा AB (AB = 30 सेमी), सबसे छोटी जीवा CD (CD = 6 सेमी), और दोनों के बीच की दूरी = 18 सेमी है।
केंद्र से AB और CD पर लंब खींचते हैं, जो क्रमशः AB और CD
,d esgjko v/Z&nh?kZo`Ùkkdkj :i dk gSA ;g 8 ehVj pkSM+k vkSj osaQnz ls 2 ehVj Å¡pk gSA ,d fljs ls 1-5 ehVj nwj fcanq ij esgjko dh Å¡pkbZ Kkr dhft,A
दी गई जानकारी:
- एक समकोण ऊर्ध्व-न्यूनक (right-angled hyperbola) है।
- इसकी चौड़ाई 8 सेमी है और केंद्र से 2 सेमी ऊँचाई पर है।
- एक बिंदु से 1.5 सेमी दूर बिंदु पर समकोण की ऊँचाई ज्ञात करें।
मान लीजिए कि समकोण ऊर्ध्व-न्यूनक का समीकरण है: \( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \)
चौड़ाई = 8 सेमी ⇒ 2a = 8 ⇒ a = 4 सेमी केंद्र से ऊँचाई = 2 सेमी ⇒ b = 2 सेमी
अब, बिंदु से 1.5 सेमी दूर बिंदु पर ऊँचाई ज्ञात करनी है।
मान लीजिए कि x = 1.5 सेमी तो, \( \frac{(1.5)^2}{16} - \frac{y^2}{4} = 1 \) \( \frac{
,d 12 lseh yach NM+ bl izdkj pyrh gS fd blosQ fljs funsZ'kka{kks dks Li'kZ djrs gSaA NM+ osQ fcanq P dk fcanqiFk Kkr dhft, tks x-v{k osQ laioZQ okys fljs ls 3 lseh nwj gSA
दी गई जानकारी:
- एक 12 सेमी लंबी डोरी इस प्रकार घूमती है कि उसके सिरे निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करते हैं।
- डोरी के सिरे P का निर्देशांक ज्ञात करें, जब वह x-अक्ष के समकोण बिंदु से 3 सेमी दूर है।
मान लीजिए कि डोरी के सिरे निर्देशांक अक्षों को (a, 0) और (0, b) पर स्पर्श करते हैं।
तो, \( \sqrt{a^2 + b^2} = 12 \)
अब, x-अक्ष के समकोण बिंदु से 3 सेमी दूर है, अर्थात् y = 3
तो, \( \sqrt{a^2 + 9} = 12 \) \( a^2 + 9 = 144 \) \( a^2 = 135 \) \( a = \sqrt{135} = 11.62 \) सेमी (लगभग)
अतः निर्देशांक हो
f=kHkqt dk {ks=kiQy Kkr dhft, tks ijoy; x2 = 12y osQ 'kh"kZ dks bldh ukfHkyac thok osQ fljksa dks feykus okyh js[kkvksa ls cuk gSA
दी गई जानकारी:
- पराबोला का समीकरण: x^2 = 12y
- उसका क्षेत्रफल ज्ञात करें, जो उसकी अक्ष के शीर्ष से उसके ललाट बिंदुओं को मिलाने वाली रेखाओं से घिरा है।
पराबोला x^2 = 12y के लिए:
- इसका शीर्ष (0, 0)
- ललाट बिंदु (focus): (0, 3)
- निर्देशांक अक्ष y-अक्ष है।
पराबोला x^2 = 4ay के लिए a = 3
ललाट बिंदु (0, 3) निर्देशांक अक्ष y-अक्ष है।
अब, क्षेत्रफल = \( \int_{0}^{3} 2x \, dy \) जहाँ x^2 = 12y ⇒ x = \sqrt{12y}
तो, क्षेत्रफल = \( \int_{0}^{3} 2\sqrt{12y} \, dy \) = 2\sqrt{12} \int_{0}^{3} \sqrt{y}
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