द्विपद प्रमेय | Class 11 Mathematics Notes

1. $(1 - 2x)^5$ का प्रसार: $(1 - 2x)^5 = \sum_{k=0}^5 {5 \choose k} (1)^{5-k} (-2x)^k = \sum_{k=0}^5 {5 \choose k} (-2)^k x^k$

विस्तार: = $1 - 10x + 40x^2 - 80x^3 + 80x^4 - 32x^5$

2. $\left(\frac{2}{x} - \frac{x}{2}\right)^5$ का प्रसार: यह $(a - b)^5$ के रूप में है जहाँ $a=\frac{2}{x}$, $b=\frac{x}{2}$

$= \sum_{k=0}^5 {5 \choose k} \left(\frac{2}{x}\right)^{5-k} \left(-\frac{x}{2}\right)^k$

= $\sum_{k=0}^5 {5 \choose k} 2^{5-k} x^{-(5-k)} (-1)^k \frac{x^k}{2^k}$

= $\sum_{k=0}^5 {5 \choose k

6. $(96)^3$ का मान: यहाँ $96 = 100 - 4$

तो, $(96)^3 = (100 - 4)^3 = \sum_{k=0}^3 {3 \choose k} 100^{3-k} (-4)^k$

= $100^3 - 3 \times 100^2 \times 4 + 3 \times 100 \times 16 - 64$

= $1,000,000 - 120,000 + 4,800 - 64 = 884,736$

7. $(102)^5$ का मान: यहाँ $102 = 100 + 2$

$(102)^5 = (100 + 2)^5 = \sum_{k=0}^5 {5 \choose k} 100^{5-k} 2^k$

= $100^5 + 5 \times 100^4 \times 2 + 10 \times 100^3 \times 4 + 10 \times 100^2 \times 8 + 5 \times 100 \times 16 + 32$

= $10,000,000,000 + 1,000,000,000 + 40

हम तुलना करते हैं: $(1.1)^{10000}$ और $1000$

$(1.1)^{10000} = \left(1 + 0.1\right)^{10000}$

द्विपद प्रमेय के अनुसार,

$(1 + 0.1)^{10000} = \sum_{k=0}^{10000} {10000 \choose k} 1^{10000-k} (0.1)^k$

विशेष रूप से, पहला पद 1 है, और बाद के पद सकारात्मक हैं। अतः $(1.1)^{10000} > 1$ बहुत अधिक है।

अब, $1000 = 10^3$

$(1.1)^{10000} = e^{10000 \ln 1.1}$

$ecause \ln 1.1 \approx 0.09531$

तो, $10000 \times 0.09531 = 953.1$

अतः $(1.1)^{10000} \approx e^{953.1}$ जो कि $10^{(953.1 / \ln 10)} = 10^{(953.

$(a + b)^4 = \sum_{k=0}^4 {4 \choose k} a^{4-k} b^k$

= $a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$

$(a - b)^4 = a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4$

अतः,

$(a + b)^4 - (a - b)^4 = (a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4) - (a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4)$

= $8a^3b + 8ab^3 = 8ab(a^2 + b^2)$

अब,

$a = \sqrt{3}$, $b = \sqrt{2}$

तो,

$(\sqrt{3} + \sqrt{2})^4 - (\sqrt{3} - \sqrt{2})^4 = 8 \times \sqrt{3} \times \sqrt{2} (3 + 2) = 8 \times \sqrt{6} \times 5 = 40 \sqrt{6}$