Mathematicsकक्षा 11सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरणहिंदी

सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण | Class 11 Mathematics Notes

द्वारा ConceptScroll Team · प्रकाशित 17 जुलाई 2026 · 4 मिनट का पठन

सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण – this guide gives you a concise, exam-ready overview of सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण from Class 11 Mathematics, written by ConceptScroll editors and reviewed against the latest NCERT textbook.

4.4 सम्मिश्र संख्या का मापांक और संयुग्मी (The Modulus and the Conjugate of a Complex Number)

इस खंड में सम्मिश्र संख्या z = a + ib के मापांक और संयुग्मी की परिभाषा दी गई है। मापांक |z| को z के वास्तविक भाग a और काल्पनिक भाग b के वर्गों के योग का वर्गमूल के रूप में परिभाषित किया गया है, अर्थात |z| = √(a² + b²)। यह मापांक z को आर्गंड तल में बिंदु के रूप में निरूपित करने पर उस बिंदु और मूल बिंदु के बीच की दूरी के बराबर होता है। संयुग्मी संख्या z̅ को a - ib के रूप में परिभाषित किया गया है, जो z का दर्पण प्रतिबिंब है। संयुग्मी का उपयोग गुणात्मक प्रतिलोम निकालने में किया जाता है, जहाँ z का गुणात्मक प्रतिलोम z̅ / |z|² के रूप में होता है। इस खंड में संयुग्मी और मापांक के गुण भी दिए गए हैं जैसे |z₁ z₂| = |z₁| |z₂|, |z₁ / z₂| = |z₁| / |z₂|, और संयुग्मी के गुण जैसे ȳ(z₁ z₂) = ȳ(z₁) ȳ(z₂) आदि। उदाहरणों के माध्यम से 2 - 3i का गुणात्मक प्रतिलोम और अन्य अभिव्यक्तियाँ समझाई गई हैं।

📊 Diagram: आकृति 4.2: आर्गंड तल में सम्मिश्र संख्या का मापांक दर्शाता हुआ चित्र; आकृति 4.3: आर्गंड तल में सम्मिश्र संख्या और उसकी संयुग्मी के बिंदुओं का दर्पण प्रतिबिंब।

🧪 Activity: इस खंड में कोई विशेष गतिविधि नहीं है।

🔗 Connection: यह खंड सम्मिश्र संख्याओं के ज्यामितीय निरूपण की ओर ले जाता है, जो अगले खंड में आर्गंड तल और ध्रुवीय निरूपण के रूप में विस्तृत होगा।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

प्रश्न 1 से 10 तक की सम्मिश्र संख्याओं में प्रत्येक को $a + ib$ के रूप में व्यक्त कीजिए। 1. $\left(5i\right)\left(-\frac{3}{5}i\right)$ 2. $i^9 + i^{19}$ 3. $i^{-39}$ 4. $3(7 + i7) + i(7 + i7)$ 5. $(1 - i) - (-1 + i6)$ 6. $\left(\frac{1}{5} + i\frac{2}{5}\right) - \left(4 + i\frac{5}{2}\right)$ 7. $\left[\left(\frac{1}{3} + i\frac{7}{3}\right) + \left(4 + i\frac{1}{3}\right)\right] - \left(-\frac{4}{3} + i\right)$ 8. $(1 - i)^4$ 9. $\left(\frac{1}{3} + 3i\right)^3$ 10. $\left(-2 - \frac{1}{3}i\right)^3$

1. $(5i)(-\frac{3}{5}i) = 5i \times -\frac{3}{5}i = -3 i^2 = -3 \times (-1) = 3$. अतः $3 + 0i$.

2. $i^9 + i^{19}$ $i^9 = i^{8+1} = (i^4)^2 \times i = 1 \times i = i$ $i^{19} = i^{16+3} = (i^4)^4 \times i^3 = 1 \times (-i) = -i$ तो $i + (-i) = 0 + 0i$

3. $i^{-39} = \frac{1}{i^{39}}$ $i^{39} = i^{36+3} = (i^4)^9 \times i^3 = 1 \times (-i) = -i$ तो $i^{-39} = \frac{1}{-i} = -\frac{1}{i} = -(-i) = i$

4. $3(7 + i7) + i(7 + i7) = 21 + 21i + 7i + i^2 7 = 21 + 28i -7 = (21-7) + 28i = 14 + 28i$

5. $(

प्रश्न 11 से 13 की सम्मिश्र संख्याओं में प्रत्येक का गुणात्मक प्रतिलोम ज्ञात कीजिए। 11. $4 - 3i$ 12. $\sqrt{5} + 3i$ 13. $-i$

गुणात्मक प्रतिलोम $z = a + ib$ के लिए $\frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{|z|^2}$ होता है।

11. $z = 4 - 3i$ $\bar{z} = 4 + 3i$ $|z|^2 = 4^2 + (-3)^2 = 16 + 9 = 25$ तो $\frac{1}{z} = \frac{4 + 3i}{25} = \frac{4}{25} + \frac{3}{25} i$

12. $z = \sqrt{5} + 3i$ $\bar{z} = \sqrt{5} - 3i$ $|z|^2 = (\sqrt{5})^2 + 3^2 = 5 + 9 = 14$ तो $\frac{1}{z} = \frac{\sqrt{5} - 3i}{14} = \frac{\sqrt{5}}{14} - \frac{3}{14} i$

13. $z = -i = 0 - i$ $\bar{z} = 0 + i = i$ $|z|^2 = 0^2 + (-1)^2 = 1$ तो $\frac{1}{z} = \frac{i

14. निम्नलिखित व्यंजक को $a + ib$ के रूप में व्यक्त कीजिए: $$ \frac{\left(3 + i\sqrt{5}\right)\left(3 - i\sqrt{5}\right)}{\left(\sqrt{3} + \sqrt{2}i\right) - \left(\sqrt{3} - i\sqrt{2}\right)} $$

दिए गए व्यंजक को सरल करते हैं:

अंकगणितीय रूप में,

ऊपर: $(3 + i\sqrt{5})(3 - i\sqrt{5}) = 3^2 - (i\sqrt{5})^2 = 9 - (i^2)(5) = 9 - (-1)(5) = 9 + 5 = 14$

नीचे: $(\sqrt{3} + \sqrt{2}i) - (\sqrt{3} - i\sqrt{2}) = \sqrt{3} + \sqrt{2}i - \sqrt{3} + i\sqrt{2} = \sqrt{2}i + i\sqrt{2} = 2 i \sqrt{2}$

तो, $$ \frac{14}{2 i \sqrt{2}} = \frac{14}{2 i \sqrt{2}} = \frac{7}{i \sqrt{2}} = \frac{7}{i \sqrt{2}} \times \frac{-i}{-i} = \frac{-7 i}{-i^2 \sqrt{2}} = \frac{-7 i}{1 \times \sqrt{2}} = -\frac{7}{\sqrt

7. माना $z_1 = 2 - i$, $z_2 = -2 + i$, निम्न का मान निकालिए। (i) $\operatorname{Re}\left(\frac{z_1 z_2}{\overline{z}_1}\right)$ (ii) $\operatorname{Im}\left(\frac{1}{z_1 \overline{z}_1}\right)$

हल: (i) पहले $z_1 = 2 - i$, अतः इसका संयुग्मी $\overline{z}_1 = 2 + i$ और $z_2 = -2 + i$

सबसे पहले $z_1 z_2$ निकालते हैं: $z_1 z_2 = (2 - i)(-2 + i) = 2 \times (-2) + 2 \times i - i \times (-2) - i \times i = -4 + 2i + 2i - (-1) = -4 + 4i + 1 = -3 + 4i$

अब, $\frac{z_1 z_2}{\overline{z}_1} = \frac{-3 + 4i}{2 + i}$

हर भिन्न को मानक रूप में लाने के लिए, हर और भाजक को $2 - i$ से गुणा करें:

$= \frac{(-3 + 4i)(2 - i)}{(2 + i)(2 - i)} = \frac{-6 + 3i + 8i - 4i^2}{4 - i^2} = \frac{-6 + 11i - 4(-1)}{

इस अध्याय में महारत हासिल करें

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