Mathematicsकक्षा 11सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरणहिंदी

सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण | Class 11 Mathematics Notes

द्वारा ConceptScroll Team · प्रकाशित 17 जुलाई 2026 · 5 मिनट का पठन

सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण – this guide gives you a concise, exam-ready overview of सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण from Class 11 Mathematics, written by ConceptScroll editors and reviewed against the latest NCERT textbook.

4.3 सम्मिश्र संख्याओं का बीजगणित (Algebra of Complex Numbers)

इस खंड में सम्मिश्र संख्याओं के बीजगणितीय गुणों और संक्रियाओं का विस्तार से अध्ययन किया गया है। सम्मिश्र संख्याओं का जोड़, घटाव, गुणा, भाग, और i की घातों के नियमों को समझाया गया है।

4.3.1 दो सम्मिश्र संख्याओं का योग: यदि z₁ = a + ib और z₂ = c + id हों, तो उनका योग z₁ + z₂ = (a + c) + i(b + d) होगा। यह भी बताया गया है कि यह क्रिया संवरक, क्रम विनिमय, साहचर्य नियम, योगात्मक तत्समक (0 + 0i), और योगात्मक प्रतिलोम (-a - ib) के नियमों का पालन करती है।

4.3.2 दो सम्मिश्र संख्याओं का अंतर: अंतर z₁ - z₂ को z₁ + (-z₂) के रूप में परिभाषित किया गया है।

4.3.3 गुणन: गुणन z₁ × z₂ = (ac - bd) + i(ad + bc) होता है। गुणन भी संवरक, क्रम विनिमय, साहचर्य, गुणात्मक तत्समक (1 + 0i), गुणात्मक प्रतिलोम, और बंटन नियम का पालन करता है।

4.3.4 भाग: भाग z₁ / z₂ को z₁ × (1 / z₂) के रूप में परिभाषित किया गया है, जहाँ गुणात्मक प्रतिलोम 1 / z₂ = (c / (c² + d²)) + i(-d / (c² + d²)) होता है। उदाहरण के माध्यम से भागफल की गणना समझाई गई है।

4.3.5 i की घात: i की घातों के चक्रवात नियम बताए गए हैं, जैसे i⁴ = 1, i⁵ = i, i⁶ = -1 आदि। इसके अलावा i के ऋण घातों के नियम भी दिए गए हैं।

4.3.6 ऋण वास्तविक संख्या के वर्गमूल: √-a को √a × i के रूप में परिभाषित किया गया है। साथ ही यह स्पष्ट किया गया है कि √a × √b = √(ab) नियम तब ही सही है जब दोनों a और b धनात्मक हों या एक धनात्मक और दूसरा शून्य हो। दोनों ऋणात्मक होने पर यह नियम लागू नहीं होता।

4.3.7 तत्समक: सम्मिश्र संख्याओं के लिए सामान्य बीजगणितीय तत्समकों जैसे (z₁ + z₂)², (z₁ - z₂)², (z₁ + z₂)³ आदि को सिद्ध किया गया है।

📊 Diagram: इस खंड में कोई चित्र नहीं है।

🧪 Activity: इस खंड में कोई विशेष गतिविधि नहीं है।

🔗 Connection: यह खंड सम्मिश्र संख्याओं के बीजगणितीय गुणों को समझाता है, जो अगले खंड में सम्मिश्र संख्याओं के ज्यामितीय निरूपण और मापांक की अवधारणा से जुड़ता है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

प्रश्न 1 से 10 तक की सम्मिश्र संख्याओं में प्रत्येक को $a + ib$ के रूप में व्यक्त कीजिए। 1. $\left(5i\right)\left(-\frac{3}{5}i\right)$ 2. $i^9 + i^{19}$ 3. $i^{-39}$ 4. $3(7 + i7) + i(7 + i7)$ 5. $(1 - i) - (-1 + i6)$ 6. $\left(\frac{1}{5} + i\frac{2}{5}\right) - \left(4 + i\frac{5}{2}\right)$ 7. $\left[\left(\frac{1}{3} + i\frac{7}{3}\right) + \left(4 + i\frac{1}{3}\right)\right] - \left(-\frac{4}{3} + i\right)$ 8. $(1 - i)^4$ 9. $\left(\frac{1}{3} + 3i\right)^3$ 10. $\left(-2 - \frac{1}{3}i\right)^3$

1. $(5i)(-\frac{3}{5}i) = 5i \times -\frac{3}{5}i = -3 i^2 = -3 \times (-1) = 3$. अतः $3 + 0i$.

2. $i^9 + i^{19}$ $i^9 = i^{8+1} = (i^4)^2 \times i = 1 \times i = i$ $i^{19} = i^{16+3} = (i^4)^4 \times i^3 = 1 \times (-i) = -i$ तो $i + (-i) = 0 + 0i$

3. $i^{-39} = \frac{1}{i^{39}}$ $i^{39} = i^{36+3} = (i^4)^9 \times i^3 = 1 \times (-i) = -i$ तो $i^{-39} = \frac{1}{-i} = -\frac{1}{i} = -(-i) = i$

4. $3(7 + i7) + i(7 + i7) = 21 + 21i + 7i + i^2 7 = 21 + 28i -7 = (21-7) + 28i = 14 + 28i$

5. $(

प्रश्न 11 से 13 की सम्मिश्र संख्याओं में प्रत्येक का गुणात्मक प्रतिलोम ज्ञात कीजिए। 11. $4 - 3i$ 12. $\sqrt{5} + 3i$ 13. $-i$

गुणात्मक प्रतिलोम $z = a + ib$ के लिए $\frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{|z|^2}$ होता है।

11. $z = 4 - 3i$ $\bar{z} = 4 + 3i$ $|z|^2 = 4^2 + (-3)^2 = 16 + 9 = 25$ तो $\frac{1}{z} = \frac{4 + 3i}{25} = \frac{4}{25} + \frac{3}{25} i$

12. $z = \sqrt{5} + 3i$ $\bar{z} = \sqrt{5} - 3i$ $|z|^2 = (\sqrt{5})^2 + 3^2 = 5 + 9 = 14$ तो $\frac{1}{z} = \frac{\sqrt{5} - 3i}{14} = \frac{\sqrt{5}}{14} - \frac{3}{14} i$

13. $z = -i = 0 - i$ $\bar{z} = 0 + i = i$ $|z|^2 = 0^2 + (-1)^2 = 1$ तो $\frac{1}{z} = \frac{i

14. निम्नलिखित व्यंजक को $a + ib$ के रूप में व्यक्त कीजिए: $$ \frac{\left(3 + i\sqrt{5}\right)\left(3 - i\sqrt{5}\right)}{\left(\sqrt{3} + \sqrt{2}i\right) - \left(\sqrt{3} - i\sqrt{2}\right)} $$

दिए गए व्यंजक को सरल करते हैं:

अंकगणितीय रूप में,

ऊपर: $(3 + i\sqrt{5})(3 - i\sqrt{5}) = 3^2 - (i\sqrt{5})^2 = 9 - (i^2)(5) = 9 - (-1)(5) = 9 + 5 = 14$

नीचे: $(\sqrt{3} + \sqrt{2}i) - (\sqrt{3} - i\sqrt{2}) = \sqrt{3} + \sqrt{2}i - \sqrt{3} + i\sqrt{2} = \sqrt{2}i + i\sqrt{2} = 2 i \sqrt{2}$

तो, $$ \frac{14}{2 i \sqrt{2}} = \frac{14}{2 i \sqrt{2}} = \frac{7}{i \sqrt{2}} = \frac{7}{i \sqrt{2}} \times \frac{-i}{-i} = \frac{-7 i}{-i^2 \sqrt{2}} = \frac{-7 i}{1 \times \sqrt{2}} = -\frac{7}{\sqrt

7. माना $z_1 = 2 - i$, $z_2 = -2 + i$, निम्न का मान निकालिए। (i) $\operatorname{Re}\left(\frac{z_1 z_2}{\overline{z}_1}\right)$ (ii) $\operatorname{Im}\left(\frac{1}{z_1 \overline{z}_1}\right)$

हल: (i) पहले $z_1 = 2 - i$, अतः इसका संयुग्मी $\overline{z}_1 = 2 + i$ और $z_2 = -2 + i$

सबसे पहले $z_1 z_2$ निकालते हैं: $z_1 z_2 = (2 - i)(-2 + i) = 2 \times (-2) + 2 \times i - i \times (-2) - i \times i = -4 + 2i + 2i - (-1) = -4 + 4i + 1 = -3 + 4i$

अब, $\frac{z_1 z_2}{\overline{z}_1} = \frac{-3 + 4i}{2 + i}$

हर भिन्न को मानक रूप में लाने के लिए, हर और भाजक को $2 - i$ से गुणा करें:

$= \frac{(-3 + 4i)(2 - i)}{(2 + i)(2 - i)} = \frac{-6 + 3i + 8i - 4i^2}{4 - i^2} = \frac{-6 + 11i - 4(-1)}{

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