वास्तविक संख्याएँ | Class 10 Mathematics Notes

1.2 अंकगणित की आधारभूत प्रमेय

अंकगणित की आधारभूत प्रमेय गणित की एक महत्वपूर्ण अवधारणा है, जो कहती है कि प्रत्येक भाज्य संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है और यह गुणनखंडन अद्वितीय होता है। इस खंड में हम इसे विस्तार से समझेंगे। अभाज्य संख्याएँ वे धनात्मक पूर्णांक हैं जिनके केवल दो भाजक होते हैं: 1 और स्वयं संख्या। उदाहरण के लिए, 2, 3, 5, 7, 11 आदि। यदि हम अभाज्य संख्याओं के विभिन्न संयोजनों से गुणा करें, तो अनेक पूर्णांक प्राप्त होते हैं। उदाहरण स्वरूप, 7 × 11 × 23 = 1771, 2³ × 3 × 7³ = 8232 आदि।

प्रत्येक पूर्णांक का गुणनखंडन अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में किया जा सकता है, जिसे गुणनखंड वृक्ष (factor tree) की सहायता से समझा जा सकता है। उदाहरण के लिए, 32760 का अभाज्य गुणनखंडन 2³ × 3² × 5 × 7 × 13 है। इसी प्रकार, बड़ी संख्याओं का भी अभाज्य गुणनखंडन किया जा सकता है। इस प्रमेय की उपपत्ति सबसे पहले यूक्लिड ने की थी, परंतु इसका पूर्ण प्रमाण कार्ल फ्रैडिक गॉस ने दिया।

इस प्रमेय के अनुप्रयोगों में HCF और LCM ज्ञात करना प्रमुख है। HCF दो या अधिक संख्याओं के सभी साझा अभाज्य गुणनखंडों का सबसे छोटा घात का गुणनफल होता है, जबकि LCM सभी अभाज्य गुणनखंडों का सबसे बड़ा घात का गुणनफल होता है। उदाहरण के लिए, 6 = 2 × 3 और 20 = 2² × 5 के लिए HCF = 2 और LCM = 2² × 3 × 5 = 60।

अंकगणित की आधारभूत प्रमेय के अनुसार, दो धनात्मक पूर्णांकों a और b के लिए HCF(a, b) × LCM(a, b) = a × b होता है। इस खंड में कई उदाहरणों के माध्यम से इन सिद्धांतों को समझाया गया है।

📊 Diagram: इस प्रकार, हमने 32760 को अभाज्य संख्याओं के एक गुणनफल के रूप में गुणनखंडित कर लिया है, जो 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 7 × 13 है। अर्थात् 32760 = 2³ × 3² × 5 × 7 × 13 है। (देखें figure_1)

🧪 Activity: अभाज्य गुणनखंडन विधि द्वारा HCF और LCM ज्ञात करने के लिए अभ्यास प्रश्न।

🔗 Connection: यह खंड अपरिमेय संख्याओं के पुनर्भ्रमण और उनकी अपरिमेयता के सिद्धांतों की ओर ले जाता है, जो अगले खंड 1.3 में विस्तार से समझाए गए हैं।