बहुपद | Class 10 Mathematics Notes

2.3 किसी बहुपद के शून्यकों और गुणांकों में संबंध

इस अनुभाग में द्विघात और त्रिघात बहुपदों के शून्यकों और उनके गुणांकों के बीच संबंध को विस्तार से समझाया गया है।

द्विघात बहुपद p(x) = ax² + bx + c के शून्यक α और β होते हैं। यदि हम इसे गुणनखंडों में लिखें तो p(x) = k(x - α)(x - β) होता है, जहाँ k एक वास्तविक संख्या है। इसे विस्तार करने पर p(x) = k[x² - (α + β)x + αβ] = kx² - k(α + β)x + kαβ होता है।

गुणांकों की तुलना करने पर हमें मिलता है:

• a = k
• b = -k(α + β)
• c = kαβ

इससे शून्यकों का योग α + β = -b/a और गुणनफल αβ = c/a होता है।

उदाहरण के लिए, p(x) = 2x² - 8x + 6 का मध्य पद विभक्त करके गुणनखंड निकाले गए और शून्यक 1 और 3 पाए गए। शून्यकों का योग 4 और गुणनफल 3 है, जो गुणांकों के अनुसार सही है।

त्रिघात बहुपद p(x) = ax³ + bx² + cx + d के शून्यक α, β, γ के लिए भी इसी प्रकार संबंध होते हैं:

• α + β + γ = -b/a
• αβ + βγ + γα = c/a
• αβγ = -d/a

उदाहरण के लिए, p(x) = 2x³ - 5x² - 14x + 8 के शून्यक 4, -2, 1/2 हैं, जिनके योग, गुणनफल और जोड़े गए गुणनफल गुणांकों के अनुसार सत्यापित होते हैं।

इस प्रकार, बहुपद के शून्यक उसके गुणांकों से सीधे जुड़े होते हैं, जो बहुपद के गुणनखंडों और समीकरणों को समझने में सहायक होते हैं।

📊 Diagram: No specific diagrams, but references to algebraic expansions and factorization examples.

🧪 Activity: इस अनुभाग में कोई विशेष गतिविधि नहीं है।

🔗 Connection: यह अनुभाग बहुपद के शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध को स्पष्ट करता है, जो बहुपदों के गुणनखंडों और समीकरणों को समझने के लिए आवश्यक है। अगले अध्याय में इन सिद्धांतों का प्रयोग किया जाएगा।