Question 1

द्विघात बहुपद ax² + bx + c में शून्यकोंं का गुणनफल(product of zeroes) ______ होता है।

Accepted Answer

c ∕ a — [{"id": "68735b09-2725-4c55-afee-98f48251f096", "type": "html", "value": " छात्रों को पता है की द्विघात बहुपद के शून्यकों का गुणनफल= (अचर पद / x² का गुणांक) होता है। द्विघात बहुपद ax² + bx + c में शून्यकों का गुणनफल c/a होगा, इसलिए, विकल्प 1 सही है। "}]

Question 2

बहुपद p (x) = 3x³- 9x² + 7x - 15 के शून्यकों का योग ज्ञात कीजिए।

Accepted Answer

3 — [{"id": "618c8d32-f78b-4645-9aaa-bc43b853525b", "type": "html", "value": " त्रिघात बहुपद ax³ + bx² + cx + d के लिए, तीनो शून्यकों का योग - b / a होता है। यहाँ, a = 3 , b = - 9 , c= 7, d = - 15 इसलिए, शून्यकों का योग = - (- 9 ) / 3 = 3 "}]

Question 3

यदि बहुपद x³ – 9x² +2x + 21 के शून्यक p- q, p, p + q हैं, तो p और q के मान ज्ञात कीजिए।

Accepted Answer

p = 3, q = ± 4 — [{"id": "87f1248f-8be6-41cf-93ae-bbbb30b40a4e", "type": "html", "value": " p(x) = x³ – 9x² + 2x +21 p − q, p, p + q शून्यक है | दिए गए बहुपद की तुलना , त्रिघात बहुपद ax³ + bx² + cx + d के मानक रूप से करने पर, हमें मिला, a = 1, b = −9, c = 2, d = 21 शून्यकों का योग = p – q + p + p + q = 3p इसके अलावा,शून्यकों का योग = - b / a = - (- 9 ) / 1 = 9 अत:, 3p = 9 p = 3 3 - q, 3 + q और 3 ये शून्यक हैं | शून्यकों का गुणनफल= 3(3 – q)(3 + q) -d/a = 3(9 –q² ) - 21/1 = 27 -3q² 3q² = 27 + 21 =48 q² = 16 q = ± 4 अत: p =3, q = ± 4 इसलिए, विकल्प 3 सही है। "}]

Question 4

यदि बहुपद x 2 + px + q के शून्यक 2x 2 - 5x - 3 के शून्यक के मान से दोगुने हैं, तो p और q का मान ज्ञात करें।

Accepted Answer

p = -5, q = -6

Question 5

द्विघात बहुपद √3 x 2 – 8x + 4√3. केशून्यक ______.

Accepted Answer

2√3 , 2√3/3

Question 6

यदि α और β एक बहुपद के शून्यक हैं जैसे कि α + β = -6 और αβ = 5, तो बहुपद ज्ञात कीजिए।

Accepted Answer

x 2 + 6x + 5 = 0

Question 7

यदि बहुपद p(x) = (k 2 – 14) x 2 – 2x – 12 काशून्यक का योग 1 है, तो k का मान ज्ञात कीजिए।

Accepted Answer

±4

Question 8

यदि द्विघात बहुपद x² + 3x + k का एक शून्यक 2 है, तो k का मान है

Accepted Answer

-10

Question 9

किसी बहुपद $p(x)$ के लिए, $y = p(x)$ का ग्राफ नीचे आकृति 2.10 में दिया है। प्रत्येक स्थिति में, $p(x)$ के शून्यकों की संख्या ज्ञात कीजिए।

(i)

(ii)

(iii)

(iv)

(v)

(vi)

Accepted Answer

प्रत्येक ग्राफ में $p(x)$ के शून्यक वे $x$ के मान हैं जहाँ ग्राफ $x$-अक्ष को काटता है। अतः,

(i) ग्राफ $x$-अक्ष को 2 बिंदुओं पर काटता है, अतः शून्यकों की संख्या 2 है।

(ii) ग्राफ $x$-अक्ष को 1 बिंदु पर काटता है, अतः शून्यकों की संख्या 1 है।

(iii) ग्राफ $x$-अक्ष को 3 बिंदुओं पर काटता है, अतः शून्यकों की संख्या 3 है।

(iv) ग्राफ $x$-अक्ष को 0 बिंदु पर काटता है, अतः शून्यकों की संख्या 0 है।

(v) ग्राफ $x$-अक्ष को 2 बिंदुओं पर काटता है, अतः शून्यकों की संख्या 2 है।

(vi) ग्राफ $x$-अक्ष को 1 बिंदु पर काटता है, अतः शून्यकों की संख्या 1 है। — शून्यक वे मान होते हैं जहाँ बहुपद का मान शून्य होता है, अर्थात् जहाँ ग्राफ $x$-अक्ष को काटता है। ग्राफ के $x$-अक्ष को काटने के बिंदुओं की संख्या शून्यकों की संख्या होती है।

Question 10

निम्न द्विघात बहुपदों के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए :

(i) $x^2 - 2x - 8$

(ii) $4x^2 - 4x + 1$

(iii) $6x^2 - 3 - 7x$

(iv) $4u^2 + 8u$

(v) $t^2 - 15$

(vi) $3x^2 - x - 4$

Accepted Answer

समाधान:

(i) $x^2 - 2x - 8 = 0$

शून्यक ज्ञात करने के लिए, द्विघात समीकरण को हल करें:

$a=1, b=-2, c=-8$

शून्यक सूत्र:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2}$

तो,
$x = \frac{2 + 6}{2} = 4$ या $x = \frac{2 - 6}{2} = -2$

शून्यक: $4, -2$

योग: $4 + (-2) = 2$
गुणनफल: $4 	imes (-2) = -8$

संबंध:
$-\frac{b}{a} = -\frac{-2}{1} = 2$ (सत्य)
$\frac{c}{a} = \frac{-8}{1} = -8$ (सत्य)

(ii) $4x^2 - 4x + 1 = 0$

$a=4, b=-4, c=1$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16}}{8} = \frac{4 \pm 0}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

शून्यक: $\frac{1}{2}, \frac{1}{2}$ (दोहरा मूल)

योग: $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$
गुणनफल: $\frac{1}{2} 	imes \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

संबंध:
$-\frac{b}{a} = -\frac{-4}{4} = 1$ (सत्य)
$\frac{c}{a} = \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$ (सत्य)

(iii) $6x^2 - 3 - 7x = 0$

सामान्य रूप में: $6x^2 - 7x - 3 = 0$

$a=6, b=-7, c=-3$

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 72}}{12} = \frac{7 \pm \sqrt{121}}{12} = \frac{7 \pm 11}{12}$

$x = \frac{7 + 11}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$ या $x = \frac{7 - 11}{12} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}$

शून्यक: $\frac{3}{2}, -\frac{1}{3}$

योग: $\frac{3}{2} + (-\frac{1}{3}) = \frac{9}{6} - \frac{2}{6} = \frac{7}{6}$
गुणनफल: $\frac{3}{2} 	imes (-\frac{1}{3}) = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}$

संबंध:
$-\frac{b}{a} = -\frac{-7}{6} = \frac{7}{6}$ (सत्य)
$\frac{c}{a} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$ (सत्य)

(iv) $4u^2 + 8u = 0$

$a=4, b=8, c=0$

$x = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 0}}{8} = \frac{-8 \pm 8}{8}$

$x = \frac{-8 + 8}{8} = 0$ या $x = \frac{-8 - 8}{8} = -2$

शून्यक: $0, -2$

योग: $0 + (-2) = -2$
गुणनफल: $0 	imes (-2) = 0$

संबंध:
$-\frac{b}{a} = -\frac{8}{4} = -2$ (सत्य)
$\frac{c}{a} = \frac{0}{4} = 0$ (सत्य)

(v) $t^2 - 15 = 0$

$a=1, b=0, c=-15$

$t = \frac{0 \pm \sqrt{0 + 60}}{2} = \pm \sqrt{15}$

शून्यक: $\sqrt{15}, -\sqrt{15}$

योग: $\sqrt{15} + (-\sqrt{15}) = 0$
गुणनफल: $\sqrt{15} 	imes (-\sqrt{15}) = -15$

संबंध:
$-\frac{b}{a} = 0$ (सत्य)
$\frac{c}{a} = -15$ (सत्य)

(vi) $3x^2 - x - 4 = 0$

$a=3, b=-1, c=-4$

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 48}}{6} = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{6} = \frac{1 \pm 7}{6}$

$x = \frac{1 + 7}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$ या $x = \frac{1 - 7}{6} = \frac{-6}{6} = -1$

शून्यक: $\frac{4}{3}, -1$

योग: $\frac{4}{3} + (-1) = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$
गुणनफल: $\frac{4}{3} 	imes (-1) = -\frac{4}{3}$

संबंध:
$-\frac{b}{a} = -\frac{-1}{3} = \frac{1}{3}$ (सत्य)
$\frac{c}{a} = \frac{-4}{3} = -\frac{4}{3}$ (सत्य) — प्रत्येक द्विघात बहुपद के लिए, शून्यक सूत्र का प्रयोग कर शून्यक ज्ञात किए गए। फिर शून्यकों के योग और गुणनफल की गणना कर, उन्हें $-b/a$ और $c/a$ के बराबर सत्यापित किया गया।

Question 11

एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमश: दी गई संख्याएँ हैं:

(i) $\frac{1}{4}, -1$

(ii) $\sqrt{2}, \frac{1}{3}$

(iii) $0, \sqrt{5}$

(iv) $1, 1$

(v) $-\frac{1}{4}, \frac{1}{4}$

(vi) $4, 1$

Accepted Answer

समाधान:

द्विघात बहुपद का सामान्य रूप है:

$x^2 - (	ext{शून्यकों का योग})x + (	ext{शून्यकों का गुणनफल}) = 0$

(i) शून्यकों का योग = $\frac{1}{4}$, गुणनफल = $-1$

बहुपद: $x^2 - \frac{1}{4}x - 1 = 0$

(ii) शून्यकों का योग = $\sqrt{2}$, गुणनफल = $\frac{1}{3}$

बहुपद: $x^2 - \sqrt{2}x + \frac{1}{3} = 0$

(iii) शून्यकों का योग = $0$, गुणनफल = $\sqrt{5}$

बहुपद: $x^2 - 0 \cdot x + \sqrt{5} = 0$ अर्थात् $x^2 + \sqrt{5} = 0$

(iv) शून्यकों का योग = $1$, गुणनफल = $1$

बहुपद: $x^2 - x + 1 = 0$

(v) शून्यकों का योग = $-\frac{1}{4}$, गुणनफल = $\frac{1}{4}$

बहुपद: $x^2 - \left(-\frac{1}{4}ight)x + \frac{1}{4} = x^2 + \frac{1}{4}x + \frac{1}{4} = 0$

(vi) शून्यकों का योग = $4$, गुणनफल = $1$

बहुपद: $x^2 - 4x + 1 = 0$ — द्विघात बहुपद के शून्यकों के योग और गुणनफल के आधार पर बहुपद का निर्माण किया गया। सामान्य रूप $x^2 - (योग)x + (गुणनफल) = 0$ का उपयोग किया गया।

Question 12

किसी बहुपद $p(x)$ के लिए, $y = p(x)$ का ग्राफ नीचे आकृति 2.10 में दिया है। प्रत्येक स्थिति में, $p(x)$ के शून्यकों की संख्या ज्ञात कीजिए।

(i)

(ii)

(iii)

(iv)

(v)

(vi)

Accepted Answer

प्रत्येक ग्राफ में $p(x)$ के शून्यक वे $x$ के मान हैं जहाँ ग्राफ $x$-अक्ष को काटता है। अतः,

(i) ग्राफ $x$-अक्ष को 2 स्थानों पर काटता है, अतः शून्यकों की संख्या 2 है।

(ii) ग्राफ $x$-अक्ष को 1 स्थान पर काटता है, अतः शून्यकों की संख्या 1 है।

(iii) ग्राफ $x$-अक्ष को 3 स्थानों पर काटता है, अतः शून्यकों की संख्या 3 है।

(iv) ग्राफ $x$-अक्ष को 0 स्थान पर काटता है, अतः शून्यकों की संख्या 0 है।

(v) ग्राफ $x$-अक्ष को 2 स्थानों पर काटता है, अतः शून्यकों की संख्या 2 है।

(vi) ग्राफ $x$-अक्ष को 1 स्थान पर काटता है, अतः शून्यकों की संख्या 1 है। — शून्यक वे मान होते हैं जिनके लिए बहुपद का मान शून्य होता है। ग्राफ में $x$-अक्ष को काटने वाले बिंदु शून्यक होते हैं। अतः ग्राफ में $x$-अक्ष को काटने की संख्या शून्यकों की संख्या है।

Question 13

निम्न द्विघात बहुपदों के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए :

(i) $x^2 - 2x - 8$

(ii) $4x^2 - 4x + 1$

(iii) $6x^2 - 3 - 7x$

(iv) $4u^2 + 8u$

(v) $t^2 - 15$

(vi) $3x^2 - x - 4$

Accepted Answer

सभी द्विघात बहुपदों के शून्यक ज्ञात करने के लिए हम द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के शून्यक सूत्र का उपयोग करेंगे:

शून्यक: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

इसके बाद शून्यकों के योग और गुणनफल की जाँच करेंगे:

शून्यकों का योग = $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$

शून्यकों का गुणनफल = $\alpha \beta = \frac{c}{a}$

(i) $x^2 - 2x - 8 = 0$
$a=1, b=-2, c=-8$

शून्यक:
$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 	imes 1 	imes (-8)}}{2 	imes 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2}$

तो,
$x_1 = \frac{2 + 6}{2} = 4$, $x_2 = \frac{2 - 6}{2} = -2$

जाँच:
$\alpha + \beta = 4 + (-2) = 2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-2}{1} = 2$

$\alpha \beta = 4 	imes (-2) = -8 = \frac{c}{a} = \frac{-8}{1} = -8$

सत्य है।

(ii) $4x^2 - 4x + 1 = 0$
$a=4, b=-4, c=1$

शून्यक:
$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 	imes 4 	imes 1}}{2 	imes 4} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16}}{8} = \frac{4 \pm 0}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

दोनों शून्यक समान हैं: $\alpha = \beta = \frac{1}{2}$

जाँच:
$\alpha + \beta = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 = -\frac{b}{a} = -\frac{-4}{4} = 1$

$\alpha \beta = \frac{1}{2} 	imes \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = \frac{c}{a} = \frac{1}{4}$

सत्य है।

(iii) $6x^2 - 3 - 7x = 0$ या $6x^2 - 7x - 3 = 0$
$a=6, b=-7, c=-3$

शून्यक:
$x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 	imes 6 	imes (-3)}}{2 	imes 6} = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 72}}{12} = \frac{7 \pm \sqrt{121}}{12} = \frac{7 \pm 11}{12}$

तो,
$x_1 = \frac{7 + 11}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$, $x_2 = \frac{7 - 11}{12} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}$

जाँच:
$\alpha + \beta = \frac{3}{2} - \frac{1}{3} = \frac{9}{6} - \frac{2}{6} = \frac{7}{6} = -\frac{b}{a} = -\frac{-7}{6} = \frac{7}{6}$

$\alpha \beta = \frac{3}{2} 	imes (-\frac{1}{3}) = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2} = \frac{c}{a} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$

सत्य है।

(iv) $4u^2 + 8u = 0$
$a=4, b=8, c=0$

शून्यक:
$4u^2 + 8u = 0 \Rightarrow 4u(u + 2) = 0$

तो,
$u=0$ या $u=-2$

जाँच:
$\alpha + \beta = 0 + (-2) = -2 = -\frac{b}{a} = -\frac{8}{4} = -2$

$\alpha \beta = 0 	imes (-2) = 0 = \frac{c}{a} = \frac{0}{4} = 0$

सत्य है।

(v) $t^2 - 15 = 0$
$a=1, b=0, c=-15$

शून्यक:
$t^2 = 15 \Rightarrow t = \pm \sqrt{15}$

तो,
$\alpha = \sqrt{15}, \beta = -\sqrt{15}$

जाँच:
$\alpha + \beta = \sqrt{15} - \sqrt{15} = 0 = -\frac{b}{a} = -\frac{0}{1} = 0$

$\alpha \beta = \sqrt{15} 	imes (-\sqrt{15}) = -15 = \frac{c}{a} = \frac{-15}{1} = -15$

सत्य है।

(vi) $3x^2 - x - 4 = 0$
$a=3, b=-1, c=-4$

शून्यक:
$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 	imes 3 	imes (-4)}}{2 	imes 3} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 48}}{6} = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{6} = \frac{1 \pm 7}{6}$

तो,
$x_1 = \frac{1 + 7}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$, $x_2 = \frac{1 - 7}{6} = \frac{-6}{6} = -1$

जाँच:
$\alpha + \beta = \frac{4}{3} + (-1) = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3} = -\frac{b}{a} = -\frac{-1}{3} = \frac{1}{3}$

$\alpha \beta = \frac{4}{3} 	imes (-1) = -\frac{4}{3} = \frac{c}{a} = \frac{-4}{3} = -\frac{4}{3}$

सत्य है। — प्रत्येक द्विघात बहुपद के लिए, द्विघात समीकरण के शून्यक सूत्र का उपयोग करके शून्यक ज्ञात किए गए। फिर शून्यकों के योग और गुणनफल की द्विघात बहुपद के गुणांकों के अनुपात से तुलना कर सत्यता की जाँच की गई। सभी मामलों में यह संबंध सत्य पाया गया।

Question 14

एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमश: दी गई संख्याएँ हैं:

(i) $\frac{1}{4}, -1$

(ii) $\sqrt{2}, \frac{1}{3}$

(iii) $0, \sqrt{5}$

(iv) $1, 1$

(v) $-\frac{1}{4}, \frac{1}{4}$

(vi) $4, 1$

Accepted Answer

द्विघात बहुपद का सामान्य रूप है:

$ax^2 + bx + c = 0$

जहाँ शून्यकों के लिए,

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ और $\alpha \beta = \frac{c}{a}$

यदि हम $a=1$ मान लें (साधारण रूप के लिए), तो बहुपद होगा:

$x^2 - (\alpha + \beta)x + (\alpha \beta) = 0$

(i) $\alpha + \beta = \frac{1}{4}, \quad \alpha \beta = -1$

बहुपद:
$x^2 - \frac{1}{4}x - 1 = 0$

(ii) $\alpha + \beta = \sqrt{2}, \quad \alpha \beta = \frac{1}{3}$

बहुपद:
$x^2 - \sqrt{2}x + \frac{1}{3} = 0$

(iii) $\alpha + \beta = 0, \quad \alpha \beta = \sqrt{5}$

बहुपद:
$x^2 - 0 \cdot x + \sqrt{5} = 0$ या $x^2 + \sqrt{5} = 0$

(iv) $\alpha + \beta = 1, \quad \alpha \beta = 1$

बहुपद:
$x^2 - x + 1 = 0$

(v) $\alpha + \beta = -\frac{1}{4}, \quad \alpha \beta = \frac{1}{4}$

बहुपद:
$x^2 + \frac{1}{4}x + \frac{1}{4} = 0$

(vi) $\alpha + \beta = 4, \quad \alpha \beta = 1$

बहुपद:
$x^2 - 4x + 1 = 0$ — द्विघात बहुपद के शून्यकों के योग और गुणनफल से बहुपद का निर्माण किया गया। सामान्य रूप $x^2 - (\alpha + \beta)x + (\alpha \beta) = 0$ का उपयोग करते हुए बहुपद लिखे गए।

Question 15

निम्नलिखित में से कौन सा व्यंजक बहुपद नहीं है?
A) $4x + 2$
B) $2y^2 - 3y + 4$
C) $\frac{1}{x - 1}$
D) $5x^3 - 4x^2 + x - \sqrt{2}$

Accepted Answer

$\frac{1}{x - 1}$ — बहुपद वह व्यंजक होता है जिसमें चर के घात पूर्णांक और गैर-ऋणात्मक होते हैं। $\frac{1}{x - 1}$ में चर $x$ हर पद में नहीं है और यह बहुपद नहीं है। अन्य विकल्पों में सभी बहुपद हैं।

Chapter 2

Chapter 2 — अध्ययन नोट्स

2.1 भूमिका

2.2 बहुपद के शून्यकों का ज्यामितीय अर्थ

2.3 किसी बहुपद के शून्यकों और गुणांकों में संबंध

अभ्यास प्रश्न — Chapter 2

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