बहुपद | Class 10 Mathematics Notes

2.2 बहुपद के शून्यकों का ज्यामितीय अर्थ

इस अनुभाग में बहुपद के शून्यकों का ज्यामितीय अर्थ समझाया गया है। जब हम बहुपद p(x) के लिए y = p(x) का ग्राफ बनाते हैं, तो बहुपद के शून्यक वे बिंदु होते हैं जहाँ यह ग्राफ x-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।

सबसे पहले रैखिक बहुपद y = ax + b का ग्राफ एक सरल रेखा होती है जो x-अक्ष को एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है। उदाहरण के लिए, y = 2x + 3 का ग्राफ x = -3/2 पर x-अक्ष को काटता है, जो इस बहुपद का शून्यक भी है। (देखिए Table on page 3 और Figure on page 3)

द्विघात बहुपद y = ax² + bx + c का ग्राफ एक परवलय (parabola) होता है, जो ऊपर या नीचे खुल सकता है। इस परवलय का x-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु बहुपद के शून्यक होते हैं। उदाहरण के लिए, y = x² - 3x - 4 का ग्राफ x = -1 और x = 4 पर x-अक्ष को काटता है, जो इसके शून्यक हैं। (देखिए Table on page 4 और Figure on page 4)

परवलय के तीन संभावित स्थितियाँ होती हैं: (i) x-अक्ष को दो भिन्न बिंदुओं पर काटना (दो भिन्न शून्यक), (ii) x-अक्ष को एक बिंदु पर काटना (दो समान शून्यक), (iii) x-अक्ष को न काटना (कोई शून्यक नहीं)।

त्रिघात बहुपद के ग्राफ के उदाहरण भी दिए गए हैं, जैसे y = x³ - 4x का ग्राफ x = -2, 0, 2 पर x-अक्ष को काटता है, जो इसके तीन शून्यक हैं। (देखिए Table on page 6 और Figures on pages 7 और 8)

इस प्रकार, बहुपद के शून्यक ग्राफ के x-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदुओं के x-निर्देशांक होते हैं। घात n के बहुपद के अधिकतम n शून्यक हो सकते हैं।

📊 Diagram: Figure on page 3; Table on page 4 (2×9); Figures on pages 5 and 6 showing विभिन्न स्थितियाँ; Table on page 6 (2×6); Figures on pages 7 and 8 showing त्रिघात बहुपद के ग्राफ

🧪 Activity: इस अनुभाग में कोई विशेष गतिविधि नहीं है।

🔗 Connection: यह अनुभाग बहुपद के शून्यकों के ज्यामितीय अर्थ को समझाता है, जो अगले अनुभाग में शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध को समझने के लिए आधार तैयार करता है।

Table on page 4 (2×9)

Table on page 6 (2×6)