वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल | Class 10 Mathematics Notes

11.1 त्रिन्यखंड और वृत्तखंड के क्षेत्रफल

इस अनुभाग में हम वृत्त के दो महत्वपूर्ण भागों — त्रिन्यखंड (Sector) और वृत्तखंड (Segment) — के क्षेत्रफल की अवधारणाओं को विस्तार से समझेंगे। त्रिन्यखंड वह भाग होता है जो वृत्त के केंद्र से दो त्रिज्या (radii) द्वारा सीमित होता है और उनके बीच की चाप (arc) को घेरता है। इसे हम आकृति 11.1 में देख सकते हैं जहाँ O केंद्र है और त्रिज्या r है। त्रिन्यखंड का कोण θ अंशों में मापा जाता है। त्रिन्यखंड दो प्रकार के होते हैं: लघु त्रिन्यखंड (minor sector) और दीर्घ त्रिन्यखंड (major sector), जो क्रमशः छोटे और बड़े कोण θ और (360° – θ) द्वारा बनते हैं।

वृत्तखंड वह भाग होता है जो एक चाप और उस चाप से जुड़ी जीवा (chord) के बीच सीमित होता है। आकृति 11.2 में APB छायांकित भाग एक वृत्तखंड है। वृत्तखंड भी लघु और दीर्घ होते हैं, जो चाप के अनुसार भिन्न होते हैं।

हम जानते हैं कि पूर्ण वृत्त का क्षेत्रफल πr² होता है। अतः त्रिन्यखंड का क्षेत्रफल उसके कोण θ के अनुपात में होगा। इसका सूत्र θ/360 × πr² है। इसी प्रकार, त्रिन्यखंड की संगत चाप की लंबाई θ/360 × 2πr होती है।

वृत्तखंड का क्षेत्रफल निकालने के लिए, हम त्रिन्यखंड के क्षेत्रफल से उस त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल घटाते हैं, जो केंद्र O और चाप के दो सिरों A, B द्वारा बनता है। इस प्रकार, वृत्तखंड का क्षेत्रफल = त्रिन्यखंड का क्षेत्रफल – त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल।

इस अनुभाग में दिए गए उदाहरणों से यह स्पष्ट होता है कि इन सूत्रों का प्रयोग करके हम विभिन्न कोणों और त्रिज्या वाले त्रिन्यखंडों और वृत्तखंडों के क्षेत्रफल आसानी से निकाल सकते हैं।

📊 Diagram: आकृति 11.1; आकृति 11.2; आकृति 11.3; आकृति 11.4; आकृति 11.5; आकृति 11.6; आकृति 11.7

🧪 Activity: इस अनुभाग में कोई विशेष गतिविधि नहीं है, परंतु उदाहरणों के माध्यम से त्रिन्यखंड और वृत्तखंड के क्षेत्रफल की गणना का अभ्यास कराया गया है।

🔗 Connection: यह अनुभाग हमें त्रिन्यखंड और वृत्तखंड के क्षेत्रफल के सूत्रों से परिचित कराता है, जो अगले अनुभाग में इन सूत्रों के प्रयोग से विभिन्न समस्याओं के हल में उपयोगी होंगे।