Chapter 12
Chapter 12 — अध्ययन नोट्स
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11.1 त्रिन्यखंड और वृत्तखंड के क्षेत्रफल
व्याख्या11.1 त्रिन्यखंड और वृत्तखंड के क्षेत्रफल
इस अनुभाग में हम वृत्त के दो महत्वपूर्ण भागों — त्रिन्यखंड (Sector) और वृत्तखंड (Segment) — के क्षेत्रफल की अवधारणाओं को विस्तार से समझेंगे। त्रिन्यखंड वह भाग होता है जो वृत्त के केंद्र से दो त्रिज्या (radii) द्वारा सीमित होता है और उनके बीच की चाप (arc) को घेरता है। इसे हम आकृति 11.1 में देख सकते हैं जहाँ O केंद्र है और त्रिज्या r है। त्रिन्यखंड का कोण θ अंशों में मापा जाता है। त्रिन्यखंड दो प्रकार के होते हैं: लघु त्रिन्यखंड (minor sector) और दीर्घ त्रिन्यखंड (major sector), जो क्रमशः छोटे और बड़े कोण θ और (360° – θ) द्वारा बनते हैं। वृत्तखंड वह भाग होता है जो एक चाप और उस चाप से जुड़ी जीवा (chord) के बीच सीमित होता है। आकृति 11.2 में APB छायांकित भाग एक वृत्तखंड है। वृत्तखंड भी लघु और दीर्घ होते हैं, जो चाप के अनुसार भिन्न होते हैं। हम जानते हैं कि पूर्ण वृत्त का क्षेत्रफल πr² होता है। अतः त्रिन्यखंड का क्षेत्रफल उसके कोण θ के अनुपात में होगा। इसका सूत्र θ/360 × πr² है। इसी प्रकार, त्रिन्यखंड की संगत चाप की लंबाई θ/360 × 2πr होती है। वृत्तखंड का क्षेत्रफल निकालने के लिए, हम त्रिन्यखंड के क्षेत्रफल से उस त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल घटाते हैं, जो केंद्र O और चाप के दो सिरों A, B द्वारा बनता है। इस प्रकार, वृत्तखंड का क्षेत्रफल = त्रिन्यखंड का क्षेत्रफल – त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल। इस अनुभाग में दिए गए उदाहरणों से यह स्पष्ट होता है कि इन सूत्रों का प्रयोग करके हम विभिन्न कोणों और त्रिज्या वाले त्रिन्यखंडों और वृत्तखंडों के क्षेत्रफल आसानी से निकाल सकते हैं।
- त्रिन्यखंड वह भाग है जो दो त्रिज्या और उनके बीच की चाप से घिरा होता है।
- वृत्तखंड वह भाग है जो एक चाप और उसकी जीवा के बीच सीमित होता है।
- त्रिन्यखंड का क्षेत्रफल = (θ/360) × πr², जहाँ θ त्रिन्यखंड का कोण है।
- त्रिन्यखंड की चाप की लंबाई = (θ/360) × 2πr होती है।
- वृत्तखंड का क्षेत्रफल = त्रिन्यखंड का क्षेत्रफल – त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल।
- त्रिन्यखंड और वृत्तखंड दोनों के लघु और दीर्घ प्रकार होते हैं।
- 📌 त्रिन्यखंड (Sector): वृत्त का वह भाग जो दो त्रिज्या और उनके बीच की चाप से घिरा हो।
- 📌 वृत्तखंड (Segment): वृत्त का वह भाग जो एक चाप और उसकी जीवा के बीच सीमित हो।
- 📌 त्रिज्या (Radius): वृत्त के केंद्र से परिधि तक की दूरी।
त्रिन्यखंड के क्षेत्रफल और चाप की लंबाई के सूत्र
सूत्रत्रिन्यखंड के क्षेत्रफल और चाप की लंबाई के सूत्र
त्रिन्यखंड के क्षेत्रफल और चाप की लंबाई निकालने के लिए हम पूर्ण वृत्त के क्षेत्रफल और परिधि के अनुपात का उपयोग करते हैं। पूर्ण वृत्त का क्षेत्रफल πr² होता है और परिधि 2πr होती है। यदि त्रिन्यखंड का केंद्र कोण θ अंशों में है, तो त्रिन्यखंड का क्षेत्रफल और चाप की लंबाई क्रमशः θ/360 × πr² और θ/360 × 2πr होंगे। इस विधि को ऐकिक विधि (Unitary Method) कहते हैं, जिसमें हम 360° के कोण के लिए पूर्ण वृत्त का क्षेत्रफल और परिधि मानकर, 1° के लिए और फिर θ° के लिए क्षेत्रफल और चाप की लंबाई निकालते हैं। इस प्रकार, त्रिन्यखंड के क्षेत्रफल का सूत्र है: क्षेत्रफल = (θ/360) × πr² और चाप की लंबाई का सूत्र है: चाप की लंबाई = (θ/360) × 2πr यह सूत्र त्रिन्यखंडों के क्षेत्रफल और चाप की लंबाई की गणना में अत्यंत उपयोगी हैं।
- पूर्ण वृत्त का क्षेत्रफल = πr²
- पूर्ण वृत्त की परिधि = 2πr
- त्रिन्यखंड का क्षेत्रफल = (θ/360) × πr²
- त्रिन्यखंड की चाप की लंबाई = (θ/360) × 2πr
- ऐकिक विधि से क्षेत्रफल और चाप की लंबाई निकाली जाती है।
- 📌 ऐकिक विधि (Unitary Method): किसी पूर्ण मान से भाग लेकर एक इकाई का मान निकालने की विधि।
- 📌 केंद्र कोण (Central Angle): वृत्त के केंद्र पर बना कोण जो त्रिन्यखंड को परिभाषित करता है।
वृत्तखंड के क्षेत्रफल का सूत्र
व्याख्यावृत्तखंड के क्षेत्रफल का सूत्र
वृत्तखंड का क्षेत्रफल निकालने के लिए हमें त्रिन्यखंड के क्षेत्रफल में से उस त्रिभुज का क्षेत्रफल घटाना होता है जो वृत्त के केंद्र और चाप के सिरों द्वारा बनता है। आकृति 11.4 में वृत्तखंड APB को दर्शाया गया है। इसका क्षेत्रफल निकालने के लिए हम पहले त्
अभ्यास प्रश्न — Chapter 12
NCERT अभ्यास प्रश्न और उत्तर सहित
Q1.दो संकेंद्रिय वृत्तों (concentric circles) की त्रिज्या (radii) 8 cm और 17 cm हैं। बड़े वृत्त (circle) के जीवा (chord) की लंबाई का पता लगाएं जो छोटे वृत्त को छूता है।
उत्तर:
30 cm
व्याख्या:
[{"id": "4b27a711-16ce-439e-b4f9-3d970ef6184f", "type": "html", "value": " आकृति के संदर्भ में, बड़े वृत्त की त्रिज्या = 17 cm छोटे वृत्त की त्रिज्या = OC = 8 cm ∆ OCB में, ∠ OCB = 90⁰ (स्पर्श रेखा संपर्क बिंदु पर त्रिज्या से लंब है।) तो, पाइथागोरस प्रमेय द्वारा, OB² = OC² + CB² CB² = OB² ─ OC² CB² = 17² ─ 8² = 289 ─ 64 = 225 CB = √225 = 15 AB, बड़े वृत्त की जीवा और OP ⊥ AB है। इसलिए, OP जीवा (chord) AB का समद्विभाजक है, क्योंकि केंद्र से लंब जीवा को समद्विभाजित (bisector) करता है। तो, AB = 2 CB तो, जीवा AB की लंबाई = 2 x 15 = 30 cm इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है। "}]
Q2.यदि PA और PB केंद्र O के एक वृत्त (circle) की दो स्पर्श रेखाएँ (tangents) हैं जिसमें कि ∠AOB = 2x + 3⁰ and ∠ APB = 3x ─ 8⁰, तो x का मान क्या है?
उत्तर:
37⁰
व्याख्या:
[{"id": "2dd9a9c2-7ad1-4997-81ec-019a13f5520f", "type": "html", "value": " आकृति के संदर्भ में, ∠AOB = 2x + 3⁰ ∠APB = 3x ⁰ 8⁰ ∠OAP = ∠OBP = 90⁰ (स्पर्श रेखा (tangent) त्रिज्या से लंब है) इस प्रकार, OAPB एक चतुर्भुज बनाता है। हम जानते हैं कि चतुर्भुज के सभी चार कोणों का योग 360⁰ के बराबर है। इसलिए, ∠OAP + ∠AOB + ∠OBP + ∠APB = 360⁰. 90⁰ + 2x + 3⁰ + 90⁰ + 3x ─ 8⁰ = 360⁰. 5x + 175⁰ = 360⁰ 5x = 185⁰ x = 185/5 = 37⁰ तो, सही उत्तर विकल्प 3 है। "}]
Q3.द्विघात बहुपद ax² + bx + c में शून्यकोंं का योग (जहां a, b, c वास्तविक संख्याएँ है और a ≠ 0) _________ है।
उत्तर:
– b ∕ a
व्याख्या:
[{"id": "8a12ff06-fb7f-49c9-8b9e-86f1171bc988", "type": "html", "value": " द्विघात बहुपद के शून्यकोंं का योग -( x का गुणांक ) / (x² का गुणांक) = -b / a से दर्शाते हैं। "}]
Q4.त्रिघात बहुपद ax³ + bx² + cx + d में तीनो शून्यकोंं का गुणनफल (जहां a, b, c, d वास्तविक संख्याएँ है और a ≠ 0) ________ है।
उत्तर:
– d ∕ a
व्याख्या:
[{"id": "969d62ca-2a9e-466a-91f6-7b5bc0ed3673", "type": "html", "value": " त्रिघात बहुपद के शून्यकोंं का गुणनफल -(अचर पद ) / (x³ का गुणांक ) = - d / a से प्रदर्शित करते है। "}]
Q5.द्विघात बहुपद x² + 8 x + 15 के शून्यक ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
– 3, – 5
व्याख्या:
[{"id": "bdb1cba9-6045-4cdf-85fb-a55628bf979f", "type": "html", "value": " मध्य पद को विभक्त करने की विधि से, x² + 8 x + 15 = x² + 5 x + 3 x + 15 = x(x + 5) + 3(x + 5) = (x + 5)(x + 3) अतः, p(x) = x² + 8 x + 15 का मान शून्य होगा जब, x + 5 = 0 या x + 3 = 0 अर्थात x = -5 या x = - 3 हो। इसलिए, x² + 8 x + 15 के शून्यक -5 और - 3 हैं। "}]
Q6.द्विघात बहुपद 5x² – 7x – 15 के शून्यकोंं का गुणनफल ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
– 3
व्याख्या:
[{"id": "17f5e475-241d-473b-ae1c-cadfb25319b3", "type": "html", "value": " द्विघात बहुपद में, शून्यकोंं का गुणनफल = (अचर पद / x² का गुणांक) = c / a 5x² – 7x – 15 में, a = 5, b = – 7 ,c = – 15 इसलिए,गुणनफल = – 15 / 5 = – 3 इसलिए विकल्प 2 सही है। यदि c का मान -15 के स्थान पर, +15 के रूप में लेते, तो छात्र विकल्प 1 का चयन कर सकते हैं, जो की गलत उत्तर है। कुछ छात्र शून्यकोंं का गुणनफल -b / a के रूप में लेते हैं, और विकल्प 3 का चयन करते हैं, जब की यह भी गलत उत्तर है। "}]
Q7.यदि द्विघात बहुपद x² - 9x + 4 के शून्यक α और β हैं, तो शून्यकोंं का योग ______ होगा।
उत्तर:
9
व्याख्या:
[{"id": "18b7133c-5e45-4273-bddc-a380ee965ee1", "type": "html", "value": " द्विघात बहुपद ax² + bx + c में, शून्यकोंं का योग = -( x का गुणांक) / (x² का गुणांक) = -b / a x² – 9x + 4 में, a =1, b = – 9 ,c = 4 इसलिए, शून्यकोंं का योग = α + β = – (–9) ∕ 1 = 9 ∕ 1 = 9 इसलिए विकल्प 1 सही है। कुछ छात्र -b / a के स्थान पर b / a को, शून्यकोंं का योग लेते हैं और इसलिए विकल्प 2 चुनते हैं जो एक गलत उत्तर है। गड़बड़ी के कारण, कुछ छात्र शून्यकोंं के योग की गणना c / a या -c / a के रूप में कर सकते हैं और इसलिए, तीसरे या चौथे विकल्प में से किसी एक विकल्प को चुन सकते है, जो एक गलत उत्तर है। "}]
Q8.एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकोंं का योग तथा गुणनफल क्रमशः 5 ∕ 2 और 3 ∕ 2 हैं।
उत्तर:
2x² - 5x +3
व्याख्या:
[{"id": "499e6d13-2690-42ec-b8c6-866df69b9be4", "type": "html", "value": " मान लेते है की द्विघात बहुपद ax² + bx + c है और इसके शून्यक α और β है। हमारे पास α + β =5 ∕ 2 = - b ∕ a है, और αβ = 3 ∕ 2 =c ∕ a तुलना करने पर, यदि a = 2 है,तो b = -5 और c = 3 होगा। इसलिए, वह द्विघात बहुपद जो दी गई स्थितियों को उपयुक्त करता है,वो 2x²- 5x + 3 है। आप अन्य द्विघात बहुपद k(2x²- 5x+ 3) के लिए जांच कर सकते हैं जो इन स्थितियों में उपयुक्त होगा, जहाँ k एक वास्तविक संख्या है। चूंकि इन स्थितियों में केवल विकल्प 2 योग्य है, इसलिए विकल्प 2 सही उत्तर है। "}]
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