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वृत्त | Class 10 Mathematics Notes

द्वारा ConceptScroll Team · प्रकाशित 17 जुलाई 2026 · 3 मिनट का पठन

वृत्त – this guide gives you a concise, exam-ready overview of वृत्त from Class 10 Mathematics, written by ConceptScroll editors and reviewed against the latest NCERT textbook.

10.3 एक बिंदु से एक वृत्त पर स्पर्श रेखाओं की संख्या

इस खंड में हम यह जानेंगे कि किसी बिंदु से वृत्त पर कितनी स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं। इसके लिए तीन स्थितियों का अध्ययन किया गया है। पहली स्थिति में, यदि बिंदु वृत्त के अंदर स्थित है, तो उससे खींची गई कोई भी रेखा वृत्त को दो बिंदुओं पर काटेगी, अतः कोई स्पर्श रेखा नहीं होगी। दूसरी स्थिति में, यदि बिंदु वृत्त पर स्थित है, तो उस बिंदु से केवल एक ही स्पर्श रेखा खींची जा सकती है। तीसरी स्थिति में, यदि बिंदु वृत्त के बाहर स्थित है, तो उससे वृत्त पर दो और केवल दो स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं। इस खंड में यह भी बताया गया है कि बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई दोनों स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ समान होती हैं। इस तथ्य को प्रमेय 10.2 में सिद्ध किया गया है। इस सिद्धांत का उपयोग विभिन्न ज्यामितीय समस्याओं को हल करने में किया जाता है।

📊 Diagram: आकृति 10.6 में तीन स्थितियाँ: (i) वृत्त के अंदर बिंदु से खींची गई रेखाएँ वृत्त को दो बिंदुओं पर काटती हैं; (ii) वृत्त पर बिंदु से एक स्पर्श रेखा; (iii) वृत्त के बाहर बिंदु से दो स्पर्श रेखाएँ PT₁ और PT₂। आकृति 10.7 में बाह्य बिंदु P से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ PQ और PR तथा केंद्र O दर्शाया गया है।

🧪 Activity: क्रियाकलाप 3: कागज पर वृत्त बनाकर विभिन्न स्थितियों में बिंदु P से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ खींचना और उनकी संख्या का अवलोकन करना।

🔗 Connection: यह खंड स्पर्श रेखाओं की संख्या और उनकी विशेषताओं को समझाता है, जो प्रमेय 10.2 और इसके अनुप्रयोगों के अध्ययन के लिए आधार बनता है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

1. एक वृत्त की कितनी स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं?

किसी वृत्त की स्पर्श रेखाओं की संख्या उस बिंदु की स्थिति पर निर्भर करती है।

यदि बिंदु वृत्त के अंदर है, तो कोई स्पर्श रेखा नहीं हो सकती।
यदि बिंदु वृत्त पर है, तो केवल एक स्पर्श रेखा हो सकती है।
यदि बिंदु वृत्त के बाहर है, तो दो स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं।

2. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए: (i) किसी वृत्त की स्पर्श रेखा उसे ———— बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है। (ii) वृत्त को दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखा को ———— कहते हैं। (iii) एक वृत्त की ———— समांतर स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं। (iv) वृत्त तथा उसकी स्पर्श रेखा के उभयनिष्ठ बिंदु को ———— कहते हैं।

(i) एक (ii) छेदक रेखा (iii) दो (iv) स्पर्श बिंदु

3. 5 सेमी क्रिया वाले एक वृत्त के बिंदु P पर स्पर्श रेखा PQ केंद्र O से जाने वाली एक रेखा से बिंदु Q पर इस प्रकार मिलती है कि OQ = 12 सेमी। PQ की लंबाई है: (A) 12 सेमी (B) 13 सेमी (C) 8.5 सेमी (D) $\sqrt{119}$ सेमी

हल: यहाँ O केंद्र है, PQ स्पर्श रेखा है, और OQ = 12 सेमी दिया है। स्पर्श रेखा और त्रिज्या के बीच कोण 90° होता है। अतः त्रिभुज OPQ में, OQ ⊥ PQ है। त्रिज्या OP = 5 सेमी है। त्रिभुज OPQ में पाइथागोरस प्रमेय लगाएँ: PQ² = OP² + OQ² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169 PQ = √169 = 13 सेमी अतः सही उत्तर (B) 13 सेमी है।

4. एक वृत्त खींचिए और एक दी गई रेखा के समांतर दो ऐसी रेखाएँ खींचिए कि उनमें से एक स्पर्श रेखा हो तथा दूसरी छेदक रेखा हो।

हल: 1. सबसे पहले एक वृत्त खींचिए। 2. फिर एक रेखा खींचिए जो वृत्त के बाहर से गुजरती हो। 3. अब उस रेखा के समांतर दो रेखाएँ खींचिए। 4. इनमें से एक रेखा ऐसी होनी चाहिए जो वृत्त को केवल एक बिंदु पर छूती हो (स्पर्श रेखा)। 5. दूसरी रेखा ऐसी होनी चाहिए जो वृत्त को दो बिंदुओं पर काटती हो (छेदक रेखा)। इस प्रकार आप एक वृत्त के लिए एक स्पर्श रेखा और एक छेदक रेखा, जो एक ही दिशा में (समांतर) हों, बना सकते हैं।

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