वास्तविक संख्याएँ | Class 10 Mathematics Notes

1.1 भूमिका

इस खंड में वास्तविक संख्याओं के अध्ययन की शुरुआत की गई है। कक्षा 9 में वास्तविक संख्याओं की खोज प्रारंभ की गई थी, जिसमें अपरिमेय संख्याओं का परिचय भी हुआ था। इस अध्याय में हम वास्तविक संख्याओं के गुणों और उनके विभाजन के सिद्धांतों पर विस्तार से चर्चा करेंगे। सबसे पहले हम धनात्मक पूर्णांकों के दो महत्वपूर्ण गुणों पर विचार करेंगे: यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म और अंकगणित की आधारभूत प्रमेय। यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म के अनुसार, किसी धनात्मक पूर्णांक a को किसी अन्य धनात्मक पूर्णांक b से इस प्रकार विभाजित किया जा सकता है कि शेषफल r प्राप्त हो, जहाँ r < b होता है। यह प्रक्रिया लंबी विभाजन की सामान्य विधि से परिचित है। इसके अनेक अनुप्रयोग हैं, जिनमें महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात करना प्रमुख है।

दूसरी ओर, अंकगणित की आधारभूत प्रमेय कहती है कि प्रत्येक भाज्य संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है और यह गुणनखंडन अद्वितीय होता है। इस प्रमेय के दो मुख्य अनुप्रयोग हैं: (1) कुछ संख्याओं जैसे √2, √3, √5 आदि की अपरिमेयता सिद्ध करना, और (2) परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार की प्रकृति (सांत या असांत आवर्ती) का निर्धारण। इस प्रकार, इस अध्याय में हम वास्तविक संख्याओं के गुणों और उनके विभाजन के सिद्धांतों का गहन अध्ययन करेंगे।

🧪 Activity: इस खंड में कोई विशिष्ट गतिविधि नहीं है।

🔗 Connection: यह खंड अंकगणित की आधारभूत प्रमेय के विस्तृत अध्ययन के लिए आधार तैयार करता है, जो अगले खंड 1.2 में विस्तार से समझाया गया है।