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वृत्त | Class 10 Mathematics Notes

द्वारा ConceptScroll Team · प्रकाशित 17 जुलाई 2026 · 3 मिनट का पठन

वृत्त – this guide gives you a concise, exam-ready overview of वृत्त from Class 10 Mathematics, written by ConceptScroll editors and reviewed against the latest NCERT textbook.

10.1 भूमिका

इस खंड में हम वृत्त की मूलभूत परिभाषा और एक तल में स्थित वृत्त तथा रेखा की विभिन्न संभावित स्थितियों का अध्ययन करेंगे। कक्षा 9 में आपने जाना था कि वृत्त वह आकृति है जिसमें सभी बिंदु एक नियत बिंदु (जिसे केंद्र कहते हैं) से समान दूरी (जिसे त्रिज्या कहते हैं) पर होते हैं। इस अध्याय की शुरुआत में हम एक वृत्त और एक रेखा PQ की विभिन्न स्थितियों पर विचार करेंगे। रेखा और वृत्त के बीच तीन प्रकार की स्थितियाँ हो सकती हैं: (i) रेखा वृत्त को स्पर्श नहीं करती (अप्रतिच्छेदी रेखा), (ii) रेखा वृत्त को दो बिंदुओं पर काटती है (छेदक रेखा), और (iii) रेखा वृत्त को केवल एक बिंदु पर छूती है (स्पर्श रेखा)। इन स्थितियों को समझना ज्यामिति के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण है क्योंकि ये वृत्त और रेखा के बीच संबंधों को स्पष्ट करते हैं।

📊 Diagram: आकृति 10.1 में तीन स्थितियाँ दर्शाई गई हैं: (i) रेखा PQ वृत्त को नहीं छूती; (ii) रेखा PQ वृत्त को दो बिंदुओं A और B पर काटती है; (iii) रेखा PQ वृत्त को केवल एक बिंदु A पर स्पर्श करती है।

🧪 Activity: इस खंड में कोई विशिष्ट क्रियाकलाप नहीं है, लेकिन वृत्त और रेखा की विभिन्न स्थितियों का अवलोकन आकृतियों के माध्यम से किया गया है।

🔗 Connection: यह परिचयात्मक खंड वृत्त की स्पर्श रेखा की अवधारणा और उसके गुणों के अध्ययन के लिए आधार तैयार करता है, जो अगले खंड 10.2 में विस्तार से समझाया गया है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

1. एक वृत्त की कितनी स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं?

किसी वृत्त की स्पर्श रेखाओं की संख्या उस बिंदु की स्थिति पर निर्भर करती है।

यदि बिंदु वृत्त के अंदर है, तो कोई स्पर्श रेखा नहीं हो सकती।
यदि बिंदु वृत्त पर है, तो केवल एक स्पर्श रेखा हो सकती है।
यदि बिंदु वृत्त के बाहर है, तो दो स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं।

2. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए: (i) किसी वृत्त की स्पर्श रेखा उसे ———— बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है। (ii) वृत्त को दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखा को ———— कहते हैं। (iii) एक वृत्त की ———— समांतर स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं। (iv) वृत्त तथा उसकी स्पर्श रेखा के उभयनिष्ठ बिंदु को ———— कहते हैं।

(i) एक (ii) छेदक रेखा (iii) दो (iv) स्पर्श बिंदु

3. 5 सेमी क्रिया वाले एक वृत्त के बिंदु P पर स्पर्श रेखा PQ केंद्र O से जाने वाली एक रेखा से बिंदु Q पर इस प्रकार मिलती है कि OQ = 12 सेमी। PQ की लंबाई है: (A) 12 सेमी (B) 13 सेमी (C) 8.5 सेमी (D) $\sqrt{119}$ सेमी

हल: यहाँ O केंद्र है, PQ स्पर्श रेखा है, और OQ = 12 सेमी दिया है। स्पर्श रेखा और त्रिज्या के बीच कोण 90° होता है। अतः त्रिभुज OPQ में, OQ ⊥ PQ है। त्रिज्या OP = 5 सेमी है। त्रिभुज OPQ में पाइथागोरस प्रमेय लगाएँ: PQ² = OP² + OQ² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169 PQ = √169 = 13 सेमी अतः सही उत्तर (B) 13 सेमी है।

4. एक वृत्त खींचिए और एक दी गई रेखा के समांतर दो ऐसी रेखाएँ खींचिए कि उनमें से एक स्पर्श रेखा हो तथा दूसरी छेदक रेखा हो।

हल: 1. सबसे पहले एक वृत्त खींचिए। 2. फिर एक रेखा खींचिए जो वृत्त के बाहर से गुजरती हो। 3. अब उस रेखा के समांतर दो रेखाएँ खींचिए। 4. इनमें से एक रेखा ऐसी होनी चाहिए जो वृत्त को केवल एक बिंदु पर छूती हो (स्पर्श रेखा)। 5. दूसरी रेखा ऐसी होनी चाहिए जो वृत्त को दो बिंदुओं पर काटती हो (छेदक रेखा)। इस प्रकार आप एक वृत्त के लिए एक स्पर्श रेखा और एक छेदक रेखा, जो एक ही दिशा में (समांतर) हों, बना सकते हैं।

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