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वृत्त | Class 10 Mathematics Notes

द्वारा ConceptScroll Team · प्रकाशित 17 जुलाई 2026 · 4 मिनट का पठन

वृत्त – this guide gives you a concise, exam-ready overview of वृत्त from Class 10 Mathematics, written by ConceptScroll editors and reviewed against the latest NCERT textbook.

10.2 वृत्त की स्पर्श रखा

इस खंड में हम वृत्त की स्पर्श रेखा की परिभाषा, अस्तित्व, और उसकी विशेषताओं का अध्ययन करेंगे। स्पर्श रेखा वह रेखा होती है जो वृत्त को केवल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है, जिसे स्पर्श बिंदु कहते हैं। इस खंड में दो महत्वपूर्ण क्रियाकलाप प्रस्तुत किए गए हैं जो स्पर्श रेखा के अस्तित्व और उसकी विशेषताओं को समझने में सहायक हैं। पहले क्रियाकलाप में एक वृत्ताकार तार और एक सीधा तार AB लिया जाता है, जिसे वृत्त के एक बिंदु P पर इस तरह रखा जाता है कि वह बिंदु P के चारों ओर घूम सके। जैसे-जैसे तार AB को घुमाया जाता है, वह वृत्त को कभी दो बिंदुओं पर काटता है तो कभी केवल एक बिंदु P पर स्पर्श करता है। इससे यह स्पष्ट होता है कि किसी वृत्त के किसी बिंदु पर एक और केवल एक स्पर्श रेखा होती है। दूसरे क्रियाकलाप में छेदक रेखा PQ के समांतर कई रेखाएँ खींची जाती हैं। इन रेखाओं की जीवा की लंबाई धीरे-धीरे कम होती जाती है और अंततः दो ऐसी रेखाएँ प्राप्त होती हैं जो वृत्त को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करती हैं, अर्थात् स्पर्श रेखाएँ। इस प्रकार यह सिद्ध होता है कि किसी छेदक रेखा के समांतर दो से अधिक स्पर्श रेखाएँ नहीं होतीं। इसके अतिरिक्त, इस खंड में पहिये की गति के संदर्भ में स्पर्श रेखा की व्यावहारिक उपयोगिता पर भी चर्चा की गई है।

📊 Diagram: आकृति 10.2 में कुएँ की घिरनी और रस्सी को दर्शाया गया है, जो स्पर्श रेखा की व्यावहारिक समझ प्रदान करता है। आकृति 10.3(i) में तार AB की विभिन्न अवस्थाएँ दर्शाई गई हैं, जिसमें एक स्थिति में वह वृत्त को केवल एक बिंदु P पर स्पर्श करता है। आकृति 10.3(ii) में छेदक रेखा PQ के समांतर रेखाओं की स्थिति दिखाई गई है। आकृति 10.4 में पहिये की गति और स्पर्श रेखा के बीच संबंध को दिखाया गया है।

🧪 Activity: क्रियाकलाप 1: वृत्ताकार तार और सीधा तार AB लेकर तार AB को वृत्त के बिंदु P के चारों ओर घुमाना और विभिन्न अवस्थाओं में तार की स्थिति का अवलोकन करना। क्रियाकलाप 2: कागज पर वृत्त और छेदक रेखा PQ खींचकर उसके समांतर कई रेखाएँ बनाना और उनकी जीवा की लंबाई का अध्ययन करना।

🔗 Connection: यह खंड स्पर्श रेखा की परिभाषा और अस्तित्व को स्पष्ट करता है, जो अगले खंड 10.3 में एक बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की संख्या के अध्ययन से जुड़ता है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

1. एक वृत्त की कितनी स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं?

किसी वृत्त की स्पर्श रेखाओं की संख्या उस बिंदु की स्थिति पर निर्भर करती है।

यदि बिंदु वृत्त के अंदर है, तो कोई स्पर्श रेखा नहीं हो सकती।
यदि बिंदु वृत्त पर है, तो केवल एक स्पर्श रेखा हो सकती है।
यदि बिंदु वृत्त के बाहर है, तो दो स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं।

2. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए: (i) किसी वृत्त की स्पर्श रेखा उसे ———— बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है। (ii) वृत्त को दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखा को ———— कहते हैं। (iii) एक वृत्त की ———— समांतर स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं। (iv) वृत्त तथा उसकी स्पर्श रेखा के उभयनिष्ठ बिंदु को ———— कहते हैं।

(i) एक (ii) छेदक रेखा (iii) दो (iv) स्पर्श बिंदु

3. 5 सेमी क्रिया वाले एक वृत्त के बिंदु P पर स्पर्श रेखा PQ केंद्र O से जाने वाली एक रेखा से बिंदु Q पर इस प्रकार मिलती है कि OQ = 12 सेमी। PQ की लंबाई है: (A) 12 सेमी (B) 13 सेमी (C) 8.5 सेमी (D) $\sqrt{119}$ सेमी

हल: यहाँ O केंद्र है, PQ स्पर्श रेखा है, और OQ = 12 सेमी दिया है। स्पर्श रेखा और त्रिज्या के बीच कोण 90° होता है। अतः त्रिभुज OPQ में, OQ ⊥ PQ है। त्रिज्या OP = 5 सेमी है। त्रिभुज OPQ में पाइथागोरस प्रमेय लगाएँ: PQ² = OP² + OQ² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169 PQ = √169 = 13 सेमी अतः सही उत्तर (B) 13 सेमी है।

4. एक वृत्त खींचिए और एक दी गई रेखा के समांतर दो ऐसी रेखाएँ खींचिए कि उनमें से एक स्पर्श रेखा हो तथा दूसरी छेदक रेखा हो।

हल: 1. सबसे पहले एक वृत्त खींचिए। 2. फिर एक रेखा खींचिए जो वृत्त के बाहर से गुजरती हो। 3. अब उस रेखा के समांतर दो रेखाएँ खींचिए। 4. इनमें से एक रेखा ऐसी होनी चाहिए जो वृत्त को केवल एक बिंदु पर छूती हो (स्पर्श रेखा)। 5. दूसरी रेखा ऐसी होनी चाहिए जो वृत्त को दो बिंदुओं पर काटती हो (छेदक रेखा)। इस प्रकार आप एक वृत्त के लिए एक स्पर्श रेखा और एक छेदक रेखा, जो एक ही दिशा में (समांतर) हों, बना सकते हैं।

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