त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग | Class 10 Mathematics Notes

9.1 ऊँचाइयाँ और दूरियाँ

इस खंड में हम त्रिकोणमिति के व्यावहारिक अनुप्रयोगों में से एक, अर्थात् ऊँचाइयाँ और दूरियाँ ज्ञात करने की विधि का अध्ययन करेंगे। त्रिकोणमिति के सिद्धांतों का उपयोग करके हम बिना किसी वस्तु को सीधे मापे उसकी ऊँचाई या दूरी ज्ञात कर सकते हैं। इसके लिए हम समकोण त्रिभुजों में कोणों और भुजाओं के बीच के संबंधों का प्रयोग करते हैं।

सबसे पहले हम दृष्टि-रेखा (line of sight) की अवधारणा समझेंगे। जब कोई व्यक्ति किसी वस्तु को देखता है, तो उसकी आँख से उस वस्तु के बिंदु तक एक काल्पनिक रेखा खींची जाती है, जिसे दृष्टि-रेखा कहते हैं। यदि यह वस्तु क्षैतिज रेखा से ऊपर है, तो दृष्टि-रेखा और क्षैतिज रेखा के बीच बनने वाला कोण उन्नयन कोण (angle of elevation) कहलाता है। उदाहरण के लिए, जब छात्र मीनार के शिखर की ओर देखता है, तो उसकी दृष्टि-रेखा और क्षैतिज रेखा के बीच जो कोण बनता है, वही उन्नयन कोण होता है। (देखिए आकृति 9.1)

यदि देखा जा रहा बिंदु क्षैतिज रेखा से नीचे हो, तो दृष्टि-रेखा और क्षैतिज रेखा के बीच बनने वाले कोण को अवनमन कोण (angle of depression) कहते हैं। जैसे कि बालकनी में बैठी लड़की जब नीचे गमले को देखती है, तो उसकी दृष्टि-रेखा क्षैतिज रेखा से नीचे होती है, और जो कोण बनता है, वह अवनमन कोण कहलाता है। (देखिए आकृति 9.2 और 9.3)

इन कोणों की सहायता से हम वस्तुओं की ऊँचाई और दूरी ज्ञात कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि हमें मीनार की ऊँचाई ज्ञात करनी हो, तो हमें मीनार के पाद-बिंदु से छात्र की दूरी, छात्र की ऊँचाई, और मीनार के शिखर का उन्नयन कोण ज्ञात होना चाहिए। इसके बाद हम त्रिकोणमिति अनुपातों जैसे कि टैन, साइन, या कोसाइन का उपयोग करके आवश्यक भुजाओं की लंबाई निकाल सकते हैं।

इस प्रकार, ऊँचाइयाँ और दूरियाँ ज्ञात करने की समस्याएँ त्रिकोणमिति के अनुप्रयोगों का एक महत्वपूर्ण हिस्सा हैं, जो दैनिक जीवन में विभिन्न क्षेत्रों जैसे निर्माण, इंजीनियरिंग, और नेविगेशन में उपयोगी हैं।

📊 Diagram: आकृति 9.1; आकृति 9.2; आकृति 9.3

🧪 Activity: इस खंड में कोई विशेष गतिविधि नहीं दी गई है।

🔗 Connection: यह खंड ऊँचाइयाँ और दूरियाँ ज्ञात करने के लिए त्रिकोणमिति अनुपातों के प्रयोग की व्याख्या करता है, जो अगले खंड में उदाहरणों के माध्यम से विस्तार से समझाया जाएगा।