त्रिकोणमिति का परिचय | Class 10 Mathematics Notes

8.4 त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ वे समीकरण हैं जो त्रिकोणमिति के सभी मान्य कोणों के लिए सत्य होते हैं। समकोण त्रिभुज ABC में, जहाँ ∠B = 90°, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार AB² + BC² = AC² होता है। इस समीकरण को विभिन्न भुजाओं के वर्गों से भाग देकर त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ प्राप्त की जाती हैं:

1. (AB/AC)² + (BC/AC)² = 1 ⇒ cos² A + sin² A = 1 2. (AB/AB)² + (BC/AB)² = (AC/AB)² ⇒ 1 + tan² A = sec² A 3. (AB/BC)² + (BC/BC)² = (AC/BC)² ⇒ cot² A + 1 = cosec² A

इन सर्वसमिकाओं का प्रयोग करके एक त्रिकोणमितीय अनुपात से अन्य अनुपातों को ज्ञात किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि tan A ज्ञात हो, तो sec A और cos A भी ज्ञात किए जा सकते हैं।

इसके अतिरिक्त, कुछ महत्वपूर्ण त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ भी सिद्ध की गई हैं, जैसे:

• sec A (1 - sin A)(sec A + tan A) = 1
• (cot A - cos A) / (cot A + cos A) = (cosec A - 1) / (cosec A + 1)
• (sin θ - cos θ + 1) / (sin θ + cos θ - 1) = 1 / (sec θ - tan θ)

ये सर्वसमिकाएँ त्रिकोणमिति के विभिन्न प्रश्नों को सरलता से हल करने में सहायक होती हैं।

📊 Diagram: आकृति 8.21

🧪 Activity: त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं को विभिन्न कोणों पर सत्यापित करने के लिए अभ्यास।

🔗 Connection: यह अनुभाग त्रिकोणमिति अनुपातों के उपयोग और प्रश्नों के हल के लिए आधार प्रदान करता है।