निर्देशांक ज्यामिति | Class 10 Mathematics Notes

7.3 विभाजन सूत्र

विभाजन सूत्र निर्देशांक ज्यामिति का एक महत्वपूर्ण भाग है, जिसमें हम सीखते हैं कि किसी रेखाखंड को किसी अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक कैसे ज्ञात किए जाते हैं। मान लीजिए दो बिंदु A(x₁, y₁) और B(x₂, y₂) हैं। यदि बिंदु P(x, y) रेखाखंड AB को m₁ : m₂ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है, तो P के निर्देशांक सूत्र द्वारा प्राप्त होते हैं:

x = (m₁ x₂ + m₂ x₁) / (m₁ + m₂) y = (m₁ y₂ + m₂ y₁) / (m₁ + m₂)

यह सूत्र AA समरूपता कसौटी के आधार पर सिद्ध होता है। विशेष रूप से, यदि m₁ = m₂ = 1 हो, तो P रेखाखंड का मध्यबिंदु होता है और उसके निर्देशांक होते हैं:

x = (x₁ + x₂)/2, y = (y₁ + y₂)/2

इस सूत्र का उपयोग करके आप विभिन्न अनुपातों में विभाजन बिंदु के निर्देशांक आसानी से ज्ञात कर सकते हैं।

उदाहरण के रूप में, यदि रेखाखंड AB को 3 : 1 के अनुपात में विभाजित करने वाला बिंदु ज्ञात करना हो, तो उपरोक्त सूत्र में m₁ = 3 और m₂ = 1 रखकर निर्देशांक प्राप्त किए जाते हैं। इसी प्रकार, यदि ज्ञात बिंदु के आधार पर अनुपात ज्ञात करना हो, तो सूत्र के समीकरणों को हल करके अनुपात प्राप्त किया जा सकता है।

समांतर चतुर्भुज के विकर्णों के मध्यबिंदु समान होते हैं, इसका भी उपयोग विभाजन सूत्र में किया जाता है।

📊 Diagram: आकृति 7.9; आकृति 7.10

🧪 Activity: विभाजन सूत्र के प्रयोग से विभिन्न अनुपातों में विभाजन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करना।

🔗 Connection: विभाजन सूत्र के बाद, प्रश्नावली 7.2 में अभ्यास के माध्यम से इस विषय की समझ को और मजबूत किया गया है।