Chapter 7

7 निर्देशांक ज्यामिति

निर्देशांक ज्यामिति गणित की वह शाखा है जो ज्यामिति और अंकगणित को जोड़ती है। इसमें हम ज्यामितीय आकृतियों को निर्देशांकों के माध्यम से व्यक्त करते हैं। कक्षा IX में आपने सीखा कि किसी तल पर किसी बिंदु की स्थिति निर्धारित करने के लिए हमें निर्देशांक अक्षों के एक युग्म की आवश्यकता होती है। किसी बिंदु के निर्देशांक उस बिंदु की स्थिति को स्पष्ट करते हैं। x-अक्ष से दूरी को भुज (abscissa) और y-अक्ष से दूरी को कोटि (ordinate) कहते हैं। उदाहरण के लिए, x-अक्ष पर स्थित बिंदु के निर्देशांक (x, 0) और y-अक्ष पर स्थित बिंदु के निर्देशांक (0, y) के रूप में होते हैं। निर्देशांक ज्यामिति का उपयोग करके, हम ज्यामितीय आकृतियों को बीजगणितीय समीकरणों के रूप में व्यक्त कर सकते हैं, जिससे ज्यामिति का अध्ययन सरल और सटीक हो जाता है। यह भौतिकी, इंजीनियरिंग, नौ-गमन, भूकंप शास्त्र और कला जैसे क्षेत्रों में व्यापक रूप से उपयोगी है। इस अध्याय में आप सीखेंगे कि दो बिंदुओं के बीच की दूरी कैसे ज्ञात की जाती है, और किसी रेखाखंड को किसी अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक कैसे प्राप्त किए जाते हैं।

• निर्देशांक ज्यामिति ज्यामिति और अंकगणित को जोड़ती है।
• किसी बिंदु के निर्देशांक उसकी स्थिति को दर्शाते हैं।
• x-अक्ष से दूरी को भुज और y-अक्ष से दूरी को कोटि कहते हैं।
• ज्यामितीय आकृतियों को बीजगणितीय समीकरणों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
• निर्देशांक ज्यामिति के अनुप्रयोग भौतिकी, इंजीनियरिंग, नौ-गमन आदि में हैं।
• 📌 निर्देशांक ज्यामिति: ज्यामिति और अंकगणित का संयोजन
• 📌 भुज (Abscissa): बिंदु की x-अक्ष से दूरी
• 📌 कोटि (Ordinate): बिंदु की y-अक्ष से दूरी

7.2 दूरी सूत्र

दूरी सूत्र निर्देशांक ज्यामिति का एक महत्वपूर्ण भाग है, जो दो बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करने में सहायक होता है। यदि दो बिंदु x-अक्ष या y-अक्ष पर स्थित हों, तो उनकी दूरी सरल गणना से ज्ञात की जा सकती है। उदाहरण के लिए, बिंदु A(4, 0) और B(6, 0) x-अक्ष पर हैं, अतः उनकी दूरी AB = 6 - 4 = 2 मात्रक है। इसी प्रकार, y-अक्ष पर स्थित बिंदु C(0, 3) और D(0, 8) के बीच की दूरी CD = 8 - 3 = 5 मात्रक है। जब दो बिंदु निर्देशांक अक्षों पर नहीं होते, तब हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हैं। मान लीजिए बिंदु P(4, 6) और Q(6, 8) हैं। इनके बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए, हम x-अक्ष पर लंब खींचकर त्रिभुज बनाते हैं और पाइथागोरस प्रमेय लगाते हैं। दूरी PQ = √[(6 - 4)² + (8 - 6)²] = √(2² + 2²) = 2√2 मात्रक होती है। सामान्यतः, दो बिंदु P(x₁, y₁) और Q(x₂, y₂) के बीच की दूरी PQ सूत्र द्वारा दी जाती है: PQ = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²] यह दूरी सदैव धनात्मक होती है। इस सूत्र का उपयोग करके आप त्रिभुजों के प्रकार, संरेखता, और आकृतियों की जाँच कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि तीन बिंदुओं के बीच की दूरियों से पता चलता है कि दो भुजाओं का वर्ग तीसरी भुजा के वर्ग के बराबर है, तो वह त्रिभुज समकोण त्रिभुज होता है।

• दो बिंदु x-अक्ष या y-अक्ष पर हों तो दूरी सरल गणना से ज्ञात होती है।
• जब बिंदु निर्देशांक अक्षों पर न हों, तब पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग होता है।
• दूरी सूत्र: PQ = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]
• दूरी सदैव धनात्मक होती है।
• दूरी सूत्र से त्रिभुज के प्रकार और संरेखता की जाँच की जा सकती है।
• 📌 दूरी सूत्र: दो बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करने का सूत्र
• 📌 पाइथागोरस प्रमेय: समकोण त्रिभुज में कर्ण का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है
• 📌 संरेखता (Collinearity): तीन या अधिक बिंदु एक ही रेखा पर स्थित होना