वास्तविक संख्याएँ | Class 10 Mathematics Notes

1.3 अपरिमेय संख्याओं का पुनर्भ्रमण

इस खंड में अपरिमेय संख्याओं की पुनः समीक्षा की गई है और उनकी अपरिमेयता को अंकगणित की आधारभूत प्रमेय की सहायता से सिद्ध किया गया है। अपरिमेय संख्याएँ वे वास्तविक संख्याएँ हैं जिन्हें दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता। इनके दशमलव प्रसार न तो समाप्त होते हैं और न ही आवर्ती होते हैं। उदाहरण के लिए, √2, √3, √5, π आदि।

सबसे पहले एक प्रमेय प्रस्तुत किया गया है जो कहता है कि यदि कोई अभाज्य संख्या p किसी पूर्णांक a² को विभाजित करती है, तो वह a को भी विभाजित करेगी। इसका प्रमाण अभाज्य संख्याओं के गुणनखंडन के आधार पर दिया गया है।

फिर √2 की अपरिमेयता को विरोधोक्ति द्वारा सिद्ध किया गया है। यदि √2 परिमेय होती, तो उसे r/s के रूप में लिखा जा सकता था जहाँ r और s सहअभाज्य पूर्णांक हैं। समीकरणों के माध्यम से यह दिखाया गया कि r और s दोनों में 2 एक साझा अभाज्य गुणनखंड होगा, जो सहअभाव्यता के विरोध में है। अतः √2 अपरिमेय है। इसी प्रकार √3 की भी अपरिमेयता सिद्ध की गई है।

इसके बाद कुछ उदाहरणों के माध्यम से यह भी दिखाया गया है कि 5 - √3 और 3√2 जैसी संख्याएँ भी अपरिमेय होती हैं। यह सिद्धांत वास्तविक संख्याओं के वर्गीकरण और उनके गुणों को समझने में अत्यंत महत्वपूर्ण है।

🧪 Activity: अपरिमेय संख्याओं की पहचान और सिद्धि के लिए अभ्यास प्रश्न।

🔗 Connection: यह खंड वास्तविक संख्याओं के गुणों के सारांश और उनके अनुप्रयोगों की ओर ले जाता है, जो अगले खंड 1.4 में प्रस्तुत है।