निर्देशांक ज्यामिति | Class 10 Mathematics Notes

7.2 दूरी सूत्र

दूरी सूत्र निर्देशांक ज्यामिति का एक महत्वपूर्ण भाग है, जो दो बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करने में सहायक होता है। यदि दो बिंदु x-अक्ष या y-अक्ष पर स्थित हों, तो उनकी दूरी सरल गणना से ज्ञात की जा सकती है। उदाहरण के लिए, बिंदु A(4, 0) और B(6, 0) x-अक्ष पर हैं, अतः उनकी दूरी AB = 6 - 4 = 2 मात्रक है। इसी प्रकार, y-अक्ष पर स्थित बिंदु C(0, 3) और D(0, 8) के बीच की दूरी CD = 8 - 3 = 5 मात्रक है।

जब दो बिंदु निर्देशांक अक्षों पर नहीं होते, तब हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हैं। मान लीजिए बिंदु P(4, 6) और Q(6, 8) हैं। इनके बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए, हम x-अक्ष पर लंब खींचकर त्रिभुज बनाते हैं और पाइथागोरस प्रमेय लगाते हैं। दूरी PQ = √[(6 - 4)² + (8 - 6)²] = √(2² + 2²) = 2√2 मात्रक होती है।

सामान्यतः, दो बिंदु P(x₁, y₁) और Q(x₂, y₂) के बीच की दूरी PQ सूत्र द्वारा दी जाती है: PQ = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²] यह दूरी सदैव धनात्मक होती है।

इस सूत्र का उपयोग करके आप त्रिभुजों के प्रकार, संरेखता, और आकृतियों की जाँच कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि तीन बिंदुओं के बीच की दूरियों से पता चलता है कि दो भुजाओं का वर्ग तीसरी भुजा के वर्ग के बराबर है, तो वह त्रिभुज समकोण त्रिभुज होता है।

📊 Diagram: आकृति 7.1; आकृति 7.2; आकृति 7.3; आकृति 7.4; आकृति 7.5; आकृति 7.6

🧪 Activity: आलेखीय रूप से विभिन्न बिंदुओं को अंकित कर उनके बीच की दूरी पाइथागोरस प्रमेय के माध्यम से ज्ञात करना।

🔗 Connection: दूरी सूत्र के बाद, अगला अनुभाग विभाजन सूत्र के माध्यम से रेखाखंड को किसी अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करना सिखाता है।