Chapter 7
Chapter 7 — अध्ययन नोट्स
NCERT-संरेखित · 10 नोट्स · 3 निःशुल्क दिखाए गए
परिचय
व्याख्यापरिचय
इस अध्याय में हम भिन्न (Fractions) के बारे में विस्तार से जानेंगे। भिन्न वह संख्या होती है जो किसी पूर्ण संख्या के भाग को दर्शाती है। जब हम किसी वस्तु या संख्या को बराबर भागों में बाँटते हैं और उनमें से कुछ भागों को चुनते हैं, तो उस हिस्से को भिन्न के रूप में लिखा जाता है। उदाहरण के लिए, यदि एक रोटी को दो बच्चों में बराबर बाँटा जाए, तो प्रत्येक बच्चे को आधी रोटी मिलेगी, जिसे भिन्न में 1/2 लिखा जाता है। इसी प्रकार, यदि एक रोटी को चार बच्चों में बाँटा जाए, तो प्रत्येक बच्चे को 1/4 रोटी मिलेगी। भिन्नों का उपयोग हमें यह बताने में मदद करता है कि किसी वस्तु का कितना हिस्सा लिया गया है या बाँटा गया है। इस अध्याय में हम भिन्नों के प्रकार, तुलना, जोड़, घटाव, गुणा, भाग, सरल रूप, समतुल्य भिन्न, मिश्रित भिन्न, संख्या रेखा पर भिन्नों का अंकन, और भिन्नों के वास्तविक जीवन में उपयोग को विस्तार से समझेंगे।
- भिन्न किसी वस्तु या संख्या के भाग को दर्शाता है।
- भिन्न में ऊपर की संख्या को अंश और नीचे की संख्या को हर कहते हैं।
- भिन्नों का उपयोग समान भागों में बाँटे गए हिस्सों को व्यक्त करने के लिए किया जाता है।
- इस अध्याय में भिन्नों के विभिन्न प्रकार और उनके गुणों को समझेंगे।
- 📌 भिन्न: किसी वस्तु के भाग को दर्शाने वाली संख्या।
- 📌 अंश: भिन्न की ऊपर की संख्या जो भागों की संख्या बताती है।
- 📌 हर: भिन्न की नीचे की संख्या जो कुल भागों की संख्या बताती है।
7.1 भिन्नात्मक इकाइयाँ और समान भाग
व्याख्या7.1 भिन्नात्मक इकाइयाँ और समान भाग
जब हम किसी संपूर्ण वस्तु को समान भागों में बाँटते हैं, तो प्रत्येक भाग को भिन्नात्मक इकाई कहते हैं। उदाहरण के लिए, यदि एक रोटी को 5 बच्चों में बाँटा जाए, तो प्रत्येक को 1/5 रोटी मिलेगी, और 1/5 इस रोटी की भिन्नात्मक इकाई है। भिन्नात्मक इकाइयाँ हमेशा 1 के अंश वाली भिन्न होती हैं, जैसे 1/2, 1/3, 1/4 आदि। इस खंड में हमने देखा कि भिन्नों की तुलना करते समय हर की संख्या महत्वपूर्ण होती है। यदि हर बड़ा होगा, तो भिन्न का मान छोटा होगा क्योंकि वस्तु को अधिक भागों में बाँटा गया है। उदाहरण के लिए, 1/9 < 1/5 क्योंकि 9 भागों में बाँटने पर प्रत्येक भाग छोटा होगा। इस खंड में अभ्यास प्रश्नों के माध्यम से भिन्नात्मक इकाइयों की समझ को मजबूत किया गया है।
- भिन्नात्मक इकाई वह भिन्न होती है जिसका अंश 1 होता है।
- जब एक वस्तु को समान भागों में बाँटा जाता है, तो प्रत्येक भाग भिन्नात्मक इकाई कहलाता है।
- भिन्नों की तुलना करते समय हर की संख्या महत्वपूर्ण होती है।
- हर जितना बड़ा होगा, भिन्न का मान उतना ही छोटा होगा।
- 📌 भिन्नात्मक इकाई: भिन्न जिसका अंश 1 होता है।
- 📌 समान भाग: समान आकार और मात्रा वाले हिस्से।
7.2 संपूर्ण के हिस्सों के रूप में भिन्नात्मक इकाइयाँ
व्याख्या7.2 संपूर्ण के हिस्सों के रूप में भिन्नात्मक इकाइयाँ
इस खंड में संपूर्ण वस्तु को समान भागों में बाँटकर भिन्नात्मक इकाइयों को समझाया गया है। उदाहरण के लिए, एक संपूर्ण चिक्की को 4 भागों में बाँटने पर प्रत्येक भाग 1/4 चिक्की होगा। यदि एक टुकड़ा जिसमें 3 ऐसे भाग हों, तो वह 3/4 चिक्की होगा। इसी प्रकार, चिक्
अभ्यास प्रश्न — Chapter 7
NCERT अभ्यास प्रश्न और उत्तर सहित
Q1.समकोण (Right Angle) यह ऋजु कोण (Straight Angle) का क्या भिन्न होता है?
उत्तर:
1/2
व्याख्या:
[{"id": "360c157a-271d-44d6-8993-5d1718e57e9f", "type": "html", "value": " समकोण = 90° ऋजु कोण = 180° समकोण/ऋजु कोण = 90°/180° = 1/2 इसलिए विकल्प 3 सही उत्तर है। "}]
Q2.पूजा के पास 7/13 L दूध है, उसमें से उसने 4/11 L दूध की खीर बनाई। तो अब पूजा के पास कितना दूध बचा?
उत्तर:
25/143
व्याख्या:
[{"id": "53e55241-8f2f-478b-88f8-ef36a07a496b", "type": "html", "value": " 7/13 - 4/11 = (7 × 11)/(13 × 11) - (4 × 13)/(13 × 11) = 77/143 - 52/143 = 25/143 इसलिए विकल्प 4 सही उत्तर है। "}]
Q3.महेश ने सुबह 3¾ km और शाम को 9½ km साइकल चलाई। तो महेश ने उस दिन कितना अंतर सफर किया?
उत्तर:
13¼ km
व्याख्या:
[{"id": "1509cb08-bc57-42e0-af5d-cb6431414b26", "type": "html", "value": " सुबह में सफर किया हुआ अंतर = 3¾ km = (3 x 4 + 3)/4 = (12 + 3)/4 = 15/4 km शाम में सफर किया हुआ अंतर = 9½ km = (9 x 2 + 1)/2 = (18 + 1)/2 = 19/2 km कुल सफर किया हुआ अंतर = सुबह में सफर किया हुआ अंतर + शाम में सफर किया हुआ अंतर = (15/4 + 19/2) km हर 15/4 और 19/2 का ल.स. 4 है। इसलिए, 15/4 + 19/2 = 15/4 + (19 x 2)/(2 x 2) = 15/4 + 38/4 = (15 + 38)/4 = 53/4 53/4 = (13 x 4 + 1)/4 = 13¼ इसलिए, कुल सफर किया हुआ अंतर = 13¼ km इसलिए विकल्प 3 सही उत्तर है। "}]
Q4.अमिता ने एक प्रोजैक्ट का 5/12 भाग काम पूरा किया फिर भव्या ने उसे मदद की और उसी प्रोजैक्ट का 7/18 भाग काम पूरा किया। तो प्रोजैक्ट कितना भाग काम पूरा करना बाकी है?
उत्तर:
7/36
व्याख्या:
[{"id": "94d413aa-cd31-4d74-8e25-6cfd28a409f7", "type": "html", "value": " अमिता ने काम पूरा किया हुआ प्रोजैक्ट का भाग = 5/12 भव्या ने काम पूरा किया हुआ प्रोजैक्ट का भाग = 7/18 काम पूरा किया हुआ कुल भाग = 5/12 + 7/18 = 15/36 + 14/36 = 29/36 काम पूरा करने के बाकी भाग = 1 - 29/36 = 7/36 इसलिए विकल्प 2 सही उत्तर है। "}]
Q5.आइए, पता लगाएँ 1. ब्रह्मगुप्् जवजध कया प्र्ोग कर जन्नजलजख् को घटयाइए— a. 8 – 3 b. 2 – 4 c. 5 – 4 d. 2 – 1 15 15 5 15 6 9 3 2 2. संके्यानुसयार घटयाइए— a. 13 से 10 b. 18 से 23 c. 29 से 45 4 3 5 3 7 7 3. जन्नजलजख् प्रशनों को हल कीजिए— a. ि्या कया जवद्याल् उसके घर से 7 जक्मी दरू ह।ै वह प्रज्जदन जवद्याल् पहु्चँ ने के जलए 10 1 जक्मी ऑटो से िया्ी ह ै और शेष दरू ी पैदल ्चलकर ्् कर्ी ह।ै वह सकूल पहु्चँ ने के जलए प्रज्जदन जक्नया पैदल ्चल्ी ह?ै b. िीजवकया पयाक्ण कया एक पूरया ्चककर लगयाने ्में 10 ज्मनट ले्ी ह ै और उसकी ज्मत् नज्म्या उसी कया््ण को करने ्में 13 ज्मनट कया स्म् ले्ी ह।ै दोनों ्में से कौन क्म स्म् ्में परू या ्चककर लगया्ी ह ै और जक्नया क्म स्म् ले्ी ह?ै
उत्तर:
1. ब्रह्मगुप्त विधि से घटाना: a. 8/15 – 3/15 = (8 – 3)/15 = 5/15 b. 2/5 – 4/15 = पहले हर समान करें। 2/5 = 6/15 तो, 6/15 – 4/15 = (6 – 4)/15 = 2/15 c. 5/6 – 4/9 = हर समान करें। 5/6 = 15/18, 4/9 = 8/18 तो, 15/18 – 8/18 = (15 – 8)/18 = 7/18 d. 2/3 – 1/2 = हर समान करें। 2/3 = 4/6, 1/2 = 3/6 तो, 4/6 – 3/6 = (4 – 3)/6 = 1/6 2. संकेतानुसार घटाना: a. 13/4 – 10/3 = हर समान करें। 13/4 = 39/12, 10/3 = 40/12 तो, 39/12 – 40/12 = -1/12 b. 18/5 – 23/3 = हर समान करें। 18/5 = 54/15, 23/3 = 115/15 तो, 54/15 – 115/15 = -61/15 c. 29/7 – 45/7 = (29 – 45)/7 = -16/7 3. प्रश्न हल: a. स्कूल से घर 7 किलोमीटर दूर है। वह 10/1 किलोमीटर ऑटो से जाता है। शेष पैदल चलता है। कुल दूरी = 7 किमी ऑटो दूरी = 10/1 = 10 किमी (यह गलत प्रतीत होता है, शायद 1/10 किलोमीटर होगा) यदि ऑटो से 1/10 किमी जाता है, तो पैदल दूरी = 7 – 1/10 = 69/10 किमी अतः वह 69/10 किमी पैदल चलता है। b. एक व्यक्ति पूरे चक्कर में 10/3 मिनट लेता है। उसकी पत्नी उसी चक्कर में 13/4 मिनट लेती है। कौन कम समय में पूरा चक्कर लगाता है? 10/3 = 3.33 मिनट 13/4 = 3.25 मिनट अतः पत्नी कम समय में पूरा चक्कर लगाती है।
व्याख्या:
1. ब्रह्मगुप्त विधि के अनुसार, अंश और हर दोनों को समान हर में बदलकर घटाना होता है। 2. हर समान करने के लिए लघुत्तम समापवर्तक (LCM) निकालकर अंशों को उसी हर में बदलते हैं। 3. प्रश्न 3 में दूरी और समय को भिन्न के रूप में दिया गया है, उन्हें जोड़-घटाकर हल किया गया है।
Q6.एक रोटी को 4 बच्चों में बराबर-बराबर बाँटा गया। प्रत्येक बच्चे को रोटी का कितना हिस्सा मिलेगा?
उत्तर:
1/4
व्याख्या:
जब एक रोटी को 4 बराबर भागों में बाँटा जाता है, तो प्रत्येक भाग रोटी का 1/4 हिस्सा होता है। इसलिए प्रत्येक बच्चे को 1/4 रोटी मिलेगी।
Q7.नीचे दिए गए चित्र में एक पूरी पिज्जा को 8 बराबर हिस्सों में बाँटा गया है। अगर आप 3 हिस्से खाते हैं, तो इसे भिन्न के रूप में कैसे लिखा जाएगा? चित्र विवरण: एक गोल पिज्जा को 8 बराबर भागों में विभाजित किया गया है, जिनमें से 3 भाग रंगीन हैं।
उत्तर:
3/8
व्याख्या:
पिज्जा के कुल 8 हिस्से हैं और 3 हिस्से खाए गए हैं। इसलिए भिन्न होगा 3/8, जहाँ 3 अंश है और 8 हर।
Q8.1/2 और 1/4 में से कौन सा भिन्न बड़ा है? कारण सहित समझाइए।
उत्तर:
1/2 भिन्न 1/4 से बड़ा है। क्योंकि जब दोनों भिन्नों को समान हर में बदला जाता है, तो 1/2 = 2/4 होता है जो 1/4 से बड़ा है।
व्याख्या:
1/2 और 1/4 की तुलना के लिए हम हर को समान करते हैं। 4 और 2 का LCM 4 है। 1/2 = 2/4 1/4 = 1/4 2/4 > 1/4 इसलिए 1/2 बड़ा है।
Ganita Prakash (Hindi) के सभी 10 अध्याय
Mathematics · Class 6