Question 1

एक त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई 16,23,31 है। यदि समरूप त्रिभुज का परिमाप (perimeter) 280 है, तो उस त्रिभुज की सबसे बड़ी भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

Accepted Answer

124 — [{"id": "a075b6c3-d591-48fb-84f7-929a77f5d06c", "type": "html", "value": " यदि ∆ ABC और ∆ DEF दो समरूप (similar) त्रिभुज हैं। ∆ ABC में, परिमाप = 16 + 23 + 31 = 70 सबसे बड़ी भुजा = 31 ∆ DEF में, परिमाप = 280 मान लीजिए, सबसे बड़ी भुजा x है। तो, यदि, ∆ ABC ~ ∆ DEF, तो, ∆ABC का परिमाप / ∆DEF का परिमाप = 31 / x 70/280 = 31 / x x = 31 x 280/70 = 124 तो सही विकल्प, विकल्प 3 है। "}]

Question 2

कोष्ठकों में दिए शब्दों में से सही शब्दों का प्रयोग करते हुए, रिक्त स्थानों को भरिए:
(i) सभी वृत्त ——— होते हैं। (सर्वांगसम, समरूप)
(ii) सभी वर्ग ——— होते हैं। (समरूप, सर्वांगसम)
(iii) सभी ——— त्रिभुज समरूप होते हैं। (समद्विबाहु, समबाहु)
(iv) भुजाओं की समान संख्या वाले दो बहुभुज समरूप होते हैं, यदि (i) उनके संगत कोण ——— हों तथा (ii) उनकी संगत भुजाएँ———हों। (बराबर, समानुपाती)

Accepted Answer

उत्तर:
(i) सभी वृत्त सर्वांगसम होते हैं।
(ii) सभी वर्ग समरूप होते हैं।
(iii) सभी समबाहु त्रिभुज समरूप होते हैं।
(iv) भुजाओं की समान संख्या वाले दो बहुभुज समरूप होते हैं, यदि (i) उनके संगत कोण बराबर हों तथा (ii) उनकी संगत भुजाएँ समानुपाती हों। — सभी वृत्तों के केंद्र से त्रिज्या समान होती है, इसलिए वे सर्वांगसम होते हैं। सभी वर्ग के सभी कोण 90° होते हैं और उनके भुजाएँ समानुपाती होती हैं, इसलिए वे समरूप होते हैं। सभी समबाहु त्रिभुज के तीनों कोण बराबर होते हैं, अतः वे समरूप होते हैं। बहुभुजों की समरूपता के लिए संगत कोण बराबर और संगत भुजाएँ समानुपाती होना आवश्यक है।

Question 3

निम्नलिखित युग्मों के दो भिन्न-भिन्न उदाहरण दीजिए:
(i) समरूप आकृतियाँ
(ii) ऐसी आकृतियाँ जो समरूप नहीं हैं।

Accepted Answer

उत्तर:
(i) समरूप आकृतियाँ:
- दो त्रिभुज जिनके सभी संगत कोण बराबर हों और भुजाएँ समानुपाती हों।
- दो वर्ग जिनका आकार और कोण समान हो।
(ii) ऐसी आकृतियाँ जो समरूप नहीं हैं:
- एक वर्ग और एक आयत, क्योंकि उनके भुजाओं के अनुपात समान नहीं होते।
- दो त्रिभुज जिनके कोण समान न हों। — समरूप आकृतियाँ वे होती हैं जिनके आकार समान होते हैं, अर्थात् उनके संगत कोण बराबर और भुजाएँ समानुपाती होती हैं। जो आकृतियाँ इन शर्तों को पूरा नहीं करतीं, वे समरूप नहीं होतीं।

Question 4

बताइए कि निम्नलिखित चतुर्भुज समरूप हैं या नहीं:

![img-21.jpeg](img-21.jpeg)

![img-22.jpeg](img-22.jpeg)
आकृति 6.8

Accepted Answer

उत्तर:
इस प्रश्न में दिए गए दो चतुर्भुजों की समरूपता जांचने के लिए हमें उनके संगत कोणों और भुजाओं के अनुपात की तुलना करनी होगी।
यदि संगत कोण बराबर हों और संगत भुजाएँ समानुपाती हों, तो चतुर्भुज समरूप होंगे।
(यहाँ चित्रों के आधार पर विश्लेषण करना होगा, जो प्रश्न में दिए गए हैं।)
यदि ये शर्तें पूरी होती हैं, तो हाँ, वे समरूप हैं; अन्यथा नहीं। — चतुर्भुजों की समरूपता के लिए संगत कोणों का बराबर होना और संगत भुजाओं का समानुपाती होना आवश्यक है। चित्रों के आधार पर यह जांचना होगा।

Question 5

यदि कोई रेखा एक Δ ABC की भुजाओं AB और AC को क्रमशः D और E पर प्रतिच्छेद करे तथा भुजा BC के समांतर हो, तो सिद्ध कीजिए कि $ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} $ होगा (देखिए आकृति 6.13)।

Accepted Answer

दी गई है कि DE || BC। प्रमेय 6.1 के अनुसार, $ \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} $। इसे उलट कर लिखें: $ \frac{DB}{AD} = \frac{EC}{AE} $। दोनों पक्षों में 1 जोड़ें: $ \frac{DB}{AD} + 1 = \frac{EC}{AE} + 1 $ अर्थात् $ \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} $। अतः $ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} $। — चूंकि DE || BC, इसलिए त्रिभुजों में भुजाओं के अनुपात समान होते हैं। अनुपातों को उलट कर जोड़ने पर कुल भुजाओं के अनुपात प्राप्त होते हैं।

Question 6

ABCD एक समलंब है जिसमें AB || DC है। असमांतर भुजाओं AD और BC पर क्रमशः बिंदु E और F इस प्रकार स्थित हैं कि EF भुजा AB के समांतर है (देखिए आकृति 6.14)। दर्शाइए कि $ \frac{AE}{ED} = \frac{BF}{FC} $ है।

Accepted Answer

AB || DC और EF || AB होने के कारण EF || DC भी होगा। त्रिभुज ADC में, EG || DC होने से $ \frac{AE}{ED} = \frac{AG}{GC} $ (प्रमेय 6.1)। त्रिभुज CAB में, $ \frac{CG}{AG} = \frac{CF}{BF} $ अर्थात् $ \frac{AG}{GC} = \frac{BF}{FC} $। अतः $ \frac{AE}{ED} = \frac{BF}{FC} $। — समांतर रेखाओं के कारण त्रिभुजों में भुजाओं के अनुपात समान होते हैं। दोनों अनुपातों को जोड़कर समानता सिद्ध की गई।

Question 7

आकृति 6.16 में $ \frac{PS}{SQ} = \frac{PT}{TR} $ है तथा $ \angle PST = \angle PRQ $ है। सिद्ध कीजिए कि $ \triangle PQR $ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

Accepted Answer

दी गई है कि $ \frac{PS}{SQ} = \frac{PT}{TR} $। प्रमेय 6.2 के अनुसार, ST || QR होगा। अतः $ \angle PST = \angle PQR $ (संगत कोण)। साथ ही दिया है कि $ \angle PST = \angle PRQ $। अतः $ \angle PRQ = \angle PQR $। समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ समान होती हैं, अतः $ PQ = PR $। इसलिए $ \triangle PQR $ समद्विबाहु है। — समांतर रेखाओं के कारण कोण समानता स्थापित की गई और समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ समान होती हैं, जिससे त्रिभुज समद्विबाहु सिद्ध होता है।

Question 8

आकृति 6.17 (i) और (ii) में, DE || BC है। (i) में EC और (ii) में AD ज्ञात कीजिए:

Accepted Answer

समाधान:
(i) आकृति 6.17 (i) में DE || BC है। त्रिभुज में यदि एक रेखा दूसरी भुजा के समानांतर है, तो वह त्रिभुज के भुजाओं के अनुपातों को समान रखती है। अतः,

$
\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}
$

यहाँ DE || BC है, अतः

$
\frac{AE}{AC} = \frac{AD}{AB}
$

दी गई आकृति और माप के आधार पर EC ज्ञात किया जा सकता है।

(ii) आकृति 6.17 (ii) में भी DE || BC है। इसी प्रकार, AD ज्ञात किया जा सकता है।

(सटीक माप और संख्यात्मक मान आकृति के आधार पर हल किए जाते हैं।) — DE || BC होने के कारण त्रिभुज के भुजाओं के अनुपात समान होते हैं। अनुपात का उपयोग कर EC और AD ज्ञात किए जाते हैं।

Question 9

किसी ΔPQR की भुजाओं PQ और PR पर क्रमश: बिंदु E और F स्थित हैं। निम्नलिखित में से प्रत्येक स्थिति के लिए, बताइए कि क्या EF || QR है:

(i) PE = 3.9 cm, EQ = 3 cm, PF = 3.6 cm और FR = 2.4 cm
(ii) PE = 4 cm, QE = 4.5 cm, PF = 8 cm और RF = 9 cm
(iii) PQ = 1.28 cm, PR = 2.56 cm, PE = 0.18 cm और PF = 0.36 cm

Accepted Answer

समाधान:
EF || QR होने के लिए, त्रिभुज के भुजाओं के अनुपात समान होने चाहिए, अर्थात्:
$ \frac{PE}{EQ} = \frac{PF}{FR} $

(i) $ \frac{PE}{EQ} = \frac{3.9}{3} = 1.3 $, $ \frac{PF}{FR} = \frac{3.6}{2.4} = 1.5 $
चूंकि 1.3 ≠ 1.5, अतः EF || QR नहीं है।

(ii) $ \frac{PE}{QE} = \frac{4}{4.5} = 0.888... $, $ \frac{PF}{RF} = \frac{8}{9} = 0.888... $
चूंकि अनुपात समान हैं, अतः EF || QR है।

(iii) PQ और PR की लंबाई दी गई है, परंतु E और F के अनुपातों की तुलना करें:
$ \frac{PE}{PQ} = \frac{0.18}{1.28} = 0.1406 $, $ \frac{PF}{PR} = \frac{0.36}{2.56} = 0.1406 $
चूंकि अनुपात समान हैं, अतः EF || QR है। — EF || QR तभी होगा जब PE/EQ = PF/FR हो। प्रत्येक स्थिति में अनुपात की तुलना कर निर्णय लिया गया।

Question 10

आकृति 6.18 में यदि LM || CB और LN || CD हो तो सिद्ध कीजिए कि $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AD}$ है।

Accepted Answer

समाधान:
LM || CB और LN || CD होने के कारण, त्रिभुजों में समानांतर रेखाओं के अनुपात समान होंगे।

त्रिभुज ABC में,
$ \frac{AM}{AB} = \frac{AL}{AC} $ (LM || CB के कारण)

त्रिभुज ABD में,
$ \frac{AN}{AD} = \frac{AL}{AC} $ (LN || CD के कारण)

अतः,
$ \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AD} $

यह सिद्ध करता है कि दिए गए अनुपात समान हैं। — समानांतर रेखाओं के कारण त्रिभुजों के भुजाओं के अनुपात समान होते हैं, जिससे अनुपात की समानता सिद्ध होती है।

Question 11

आकृति 6.19 में DE || AC और DF || AE है। सिद्ध कीजिए कि $\frac{BF}{FE} = \frac{BE}{EC}$ है।

Accepted Answer

समाधान:
DE || AC और DF || AE होने के कारण, त्रिभुजों में समानांतर रेखाओं के अनुपात समान होंगे।

त्रिभुज में अनुपातों के आधार पर,
$ \frac{BF}{FE} = \frac{BE}{EC} $

यह अनुपात समानता समानांतर रेखाओं के कारण होती है।

सिद्धांत के अनुसार, समानांतर रेखाओं के कारण भुजाओं के अनुपात समान होते हैं, जिससे यह परिणाम प्राप्त होता है। — समानांतर रेखाओं के कारण त्रिभुज के भुजाओं के अनुपात समान होते हैं, जिससे दिया गया अनुपात सिद्ध होता है।

Question 12

आकृति 6.20 में DE || OQ और DF || OR है। दर्शाइए कि EF || QR है।

Accepted Answer

समाधान:
DE || OQ और DF || OR होने के कारण, त्रिभुजों में समानांतर रेखाओं के अनुपात समान होंगे।

इससे EF || QR सिद्ध होता है क्योंकि EF और QR समानांतर रेखाएँ हैं जो त्रिभुज के भुजाओं के अनुपात को समान बनाती हैं। — समानांतर रेखाओं के कारण त्रिभुज के भुजाओं के अनुपात समान होते हैं, जिससे EF || QR सिद्ध होता है।

Question 13

आकृति 6.21 में क्रमश: OP, OQ और OR पर स्थित बिंदु A, B और C इस प्रकार हैं कि AB || PQ और AC || PR है। दर्शाइए कि BC || QR है।

Accepted Answer

समाधान:
AB || PQ और AC || PR होने के कारण, त्रिभुजों में समानांतर रेखाओं के अनुपात समान होंगे।

इससे BC || QR सिद्ध होता है क्योंकि BC और QR समानांतर रेखाएँ हैं जो त्रिभुज के भुजाओं के अनुपात को समान बनाती हैं। — समानांतर रेखाओं के कारण त्रिभुज के भुजाओं के अनुपात समान होते हैं, जिससे BC || QR सिद्ध होता है।

Question 14

प्रमेय 6.1 का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की एक भुजा के मध्य-बिंदु से होकर दूसरी भुजा के समांतर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है। (याद कीजिए कि आप इसे कक्षा IX में सिद्ध कर चुके हैं।)

Accepted Answer

समाधान:
प्रमेय 6.1 के अनुसार, यदि त्रिभुज की एक भुजा के मध्य-बिंदु से दूसरी भुजा के समानांतर रेखा खींची जाए, तो वह तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है।

मान लीजिए त्रिभुज ABC में, D मध्य-बिंदु है AB का। DE || BC खींची गई है।

तो DE त्रिभुज ABC को दो समरूप त्रिभुजों में विभाजित करती है। इससे सिद्ध होता है कि DE तीसरी भुजा BC को समद्विभाजित करती है।

यह कक्षा IX में सिद्ध किया गया था। — मध्य-बिंदु से समानांतर रेखा खींचने पर त्रिभुज की तीसरी भुजा समद्विभाजित होती है, जो प्रमेय 6.1 द्वारा सिद्ध होता है।

Question 15

प्रमेय 6.2 का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती है। (याद कीजिए कि आप कक्षा IX में ऐसा कर चुके हैं।)

Accepted Answer

समाधान:
प्रमेय 6.2 के अनुसार, यदि त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा खींची जाए, तो वह तीसरी भुजा के समानांतर होती है।

मान लीजिए त्रिभुज ABC में, D और E क्रमशः AB और AC के मध्य-बिंदु हैं। रेखा DE खींची गई है।

तो DE || BC होगा।

यह कक्षा IX में सिद्ध किया गया था। — दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा तीसरी भुजा के समानांतर होती है, जो प्रमेय 6.2 द्वारा सिद्ध होता है।

Chapter 6

Chapter 6 — अध्ययन नोट्स

6.1 भूमिका

6.2 समरूप आकृतियाँ

6.3 त्रिभुजों की समरूपता

अभ्यास प्रश्न — Chapter 6

Ganit के सभी 14 अध्याय