Chapter 5

5.1 सार्व गुणज और सार्व गुणनखंड

इस अनुभाग में 'इडली-वड़ा' खेल के माध्यम से सार्व गुणज (Common Multiples) और सार्व गुणनखंड (Common Factors) की अवधारणा को समझाया गया है। बच्चे वृत्ताकार बैठकर 1 से शुरू करते हुए संख्याएँ बोलते हैं। जब संख्या 3 के गुणज (जैसे 3, 6, 9, 12, ...) की बारी आती है तो खिलाड़ी संख्या बोलने के बजाय 'इडली' कहता है। इसी प्रकार, जब संख्या 5 के गुणज (जैसे 5, 10, 15, 20, ...) की बारी आती है तो खिलाड़ी 'वड़ा' कहता है। यदि संख्या दोनों 3 और 5 की गुणज हो, तो खिलाड़ी 'इडली-वड़ा' कहता है। यह खेल तब तक चलता रहता है जब तक केवल एक खिलाड़ी बचा रहता है। इस खेल से विद्यार्थियों को गुणजों की पहचान और सार्व गुणज की अवधारणा समझ में आती है। इसके बाद विद्यार्थियों को विभिन्न संख्या युग्मों जैसे (2 और 5), (3 और 7), (4 और 6) के साथ भी यह खेल खेलने को कहा जाता है, जिससे वे सार्व गुणज और सार्व गुणनखंड के बीच अंतर को समझ सकें। इसके अतिरिक्त, 'जैकपॉट के लिए छलाँग' खेल में दो संख्याओं के गुणनखंडों और उनके सार्व गुणनखंडों की खोज की जाती है, जिससे यह समझ आता है कि दो संख्याओं के गुणज और गुणनखंड कैसे काम करते हैं। उदाहरण के लिए, यदि खजाना 24 पर रखा गया है, तो 24 के सभी गुणनखंड (जैसे 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24) पर छलाँग लगाकर पहुँचा जा सकता है। इस अनुभाग में यह भी बताया गया है कि दो संख्याओं के सार्व गुणनखंड वे संख्याएँ होती हैं जो दोनों संख्याओं को विभाजित करती हैं। उदाहरण के लिए, 14 और 36 के लिए 1 और 2 सार्व गुणनखंड हैं। यदि जम्पी को दोनों स्थानों पर पहुँचना है तो छलाँग का आकार 1 या 2 होना चाहिए। अंत में, विद्यार्थियों को विभिन्न अभ्यास प्रश्न दिए गए हैं जिनमें सार्व गुणज, सार्व गुणनखंड, गुणजों की खोज, और खेल के नियमों के आधार पर प्रश्न हल करने होते हैं। **Table on page 4 (4×10)** | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 |

• इडली-वड़ा खेल से 3 और 5 के गुणजों की पहचान होती है।
• सार्व गुणज वे संख्याएँ होती हैं जो दो या अधिक संख्याओं के गुणज होती हैं।
• सार्व गुणनखंड वे संख्याएँ होती हैं जो दो या अधिक संख्याओं को विभाजित करती हैं।
• खेल में यदि संख्या 3 और 5 दोनों का गुणज हो तो 'इडली-वड़ा' कहा जाता है।
• जैकपॉट के लिए छलाँग खेल से गुणनखंड और सार्व गुणनखंड की अवधारणा स्पष्ट होती है।
• दो संख्याओं के सार्व गुणनखंडों से उनके गुणजों और गुणनखंडों का पता चलता है।
• 📌 सार्व गुणज: दो या अधिक संख्याओं के सामान्य गुणज।
• 📌 सार्व गुणनखंड: दो या अधिक संख्याओं के सामान्य भाजक।
• 📌 गुणज: किसी संख्या का वह परिणाम जो उसे किसी पूर्णांक से गुणा करने पर प्राप्त होता है।

5.2 अभाज्य संख्याएँ

इस अनुभाग में अभाज्य संख्याओं (Prime Numbers) और भाज्य संख्याओं (Composite Numbers) की अवधारणा विस्तार से समझाई गई है। अभाज्य संख्याएँ वे होती हैं जिनके केवल दो गुणनखंड होते हैं: 1 और वह संख्या स्वयं। उदाहरण के लिए, 2, 3, 5, 7, 11 आदि। वहीं, भाज्य संख्याएँ वे होती हैं जिनके दो से अधिक गुणनखंड होते हैं। जैसे 4, 6, 8, 9, 10, 12 आदि। संख्या 1 को न तो अभाज्य माना जाता है और न ही भाज्य, क्योंकि इसका केवल एक गुणनखंड है। इस अनुभाग में गुणा और अंशु के उदाहरण से समझाया गया है कि संख्या 12 को कई तरह से आयताकार रूप में व्यवस्थित किया जा सकता है, क्योंकि इसके कई गुणनखंड हैं, जबकि संख्या 7 को केवल एक ही तरह से व्यवस्थित किया जा सकता है क्योंकि इसके केवल दो गुणनखंड हैं। अभाज्य संख्याओं को खोजने के लिए इराटोस्थेनीस की छलनी (Sieve of Eratosthenes) विधि प्रस्तुत की गई है, जिसमें 1 को हटाकर 2 से शुरू करते हुए उसके गुणजों को काटा जाता है, फिर अगली बिना कटी संख्या पर घेरा बनाकर उसके गुणजों को काटते जाते हैं। इस प्रक्रिया से 100 तक की सभी अभाज्य संख्याएँ ज्ञात की जा सकती हैं। इसके अतिरिक्त, अभाज्य संख्याओं के रोचक तथ्य, जैसे जुड़वाँ अभाज्य युग्म (Twin Primes) और अभाज्य संख्याओं की अनंतता पर चर्चा की गई है। विद्यार्थियों को अभ्यास के लिए प्रश्न दिए गए हैं, जिनमें अभाज्य संख्याओं की पहचान, उनके गुणनखंड, और विशेष अभाज्य संख्याओं के युग्म खोजने के कार्य शामिल हैं। **Table on page 7 (10×10)** | × | 2 | 3 | × | 5 | 6 | 7 | × | 9 | 10 | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 |

• अभाज्य संख्या के केवल दो गुणनखंड होते हैं: 1 और स्वयं संख्या।
• भाज्य संख्या के दो से अधिक गुणनखंड होते हैं।
• संख्या 1 न तो अभाज्य है न ही भाज्य।
• इराटोस्थेनीस की छलनी विधि से अभाज्य संख्याएँ खोजी जाती हैं।
• जुड़वाँ अभाज्य युग्म वे होते हैं जिनका अंतर 2 होता है, जैसे 3 और 5।
• अभाज्य संख्याओं की संख्या अनंत है।
• 📌 अभाज्य संख्या: ऐसी संख्या जिसके केवल दो गुणनखंड होते हैं।
• 📌 भाज्य संख्या: ऐसी संख्या जिसके दो से अधिक गुणनखंड होते हैं।
• 📌 इराटोस्थेनीस की छलनी: अभाज्य संख्याएँ खोजने की एक विधि।