Chapter 5
Chapter 5 — अध्ययन नोट्स
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5.1 भूमिका
व्याख्या5.1 भूमिका
इस खंड में हम प्राकृतिक और दैनिक जीवन में पाए जाने वाले विभिन्न प्रतिरूपों (patterns) का अवलोकन करते हैं। उदाहरण स्वरूप, सूरजमुखी के फूल की पंखुड़ियाँ, मधु-कोष में छिद्र, भुट्टे पर दाने, अनन्नास और पाइन कोन पर सर्पिल आदि प्राकृतिक प्रतिरूप हैं। इसके अतिरिक्त, रोजमर्रा की जीवन की घटनाओं में भी कुछ संख्यात्मक प्रतिरूप होते हैं, जैसे कि वेतन वृद्धि, सीढ़ी के डंडों की लंबाई, बचत योजना में धनराशि, खरगोशों की संख्या आदि। इन उदाहरणों में कुछ प्रतिरूप ऐसे हैं जिनमें प्रत्येक पद अपने पूर्ववर्ती पद से एक निश्चित संख्या जोड़ने या घटाने से प्राप्त होता है। इस अध्याय में हम ऐसे प्रतिरूपों का अध्ययन करेंगे जिन्हें समांतर श्रेढ़ियाँ (Arithmetic Progression - A.P.) कहते हैं। **Table on page 15 (6×4)** | a | d | n | a_n | | --- | --- | --- | --- | | 7 | 3 | 8 | ... | | -18 | ... | 10 | 0 | | ... | -3 | 18 | -5 | | -18.9 | 2.5 | ... | 3.6 | | 3.5 | 0 | 105 | ... |
- प्रकृति और दैनिक जीवन में अनेक वस्तुएँ निश्चित प्रतिरूप का अनुसरण करती हैं।
- कुछ प्रतिरूपों में प्रत्येक पद अपने पूर्ववर्ती पद से एक निश्चित संख्या जोड़कर या घटाकर प्राप्त होता है।
- वेतन वृद्धि, सीढ़ी के डंडों की लंबाई, बचत योजना आदि दैनिक जीवन के उदाहरण हैं।
- खरगोशों की संख्या जैसे प्रतिरूपों में वृद्धि का नियम अलग होता है।
- इस अध्याय में हम समांतर श्रेढ़ियों का अध्ययन करेंगे।
- 📌 प्रतिरूप (Pattern): किसी वस्तु या घटना में दोहराव या नियम।
- 📌 समांतर श्रेढ़ी (Arithmetic Progression): ऐसी संख्या श्रृंखला जिसमें प्रत्येक पद अपने पूर्ववर्ती पद में एक निश्चित संख्या जोड़ने से प्राप्त होता है।
5.2 समांतर श्रेढ़ियाँ
परिभाषा5.2 समांतर श्रेढ़ियाँ
समांतर श्रेढ़ी (Arithmetic Progression - A.P.) संख्याओं की ऐसी सूची होती है जिसमें प्रत्येक पद अपने पूर्ववर्ती पद में एक निश्चित संख्या जोड़कर प्राप्त होता है। इस निश्चित संख्या को सार्व अंतर (common difference) कहते हैं। यदि किसी A.P. का पहला पद a₁ है और सार्व अंतर d है, तो श्रेढ़ी इस प्रकार होगी: a₁, a₁ + d, a₁ + 2d, a₁ + 3d, ...। सार्व अंतर धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य हो सकता है। उदाहरण स्वरूप, 1, 2, 3, 4, ... एक A.P. है जिसमें a₁ = 1 और d = 1 है। इसी प्रकार, 100, 70, 40, 10, ... एक A.P. है जिसमें d = -30 है। A.P. की पहचान करने के लिए यह आवश्यक है कि किसी भी दो क्रमागत पदों का अंतर समान हो।
- A.P. में प्रत्येक पद अपने पूर्ववर्ती पद में एक निश्चित संख्या d जोड़कर प्राप्त होता है।
- सर्व अंतर d धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य हो सकता है।
- A.P. का सामान्य रूप: a, a + d, a + 2d, a + 3d, ...
- A.P. की पहचान के लिए किसी भी दो क्रमागत पदों का अंतर समान होना चाहिए।
- परिमित A.P. में पदों की संख्या सीमित होती है, जबकि अपरिमित A.P. में पद अनंत होते हैं।
- 📌 सर्व अंतर (Common Difference): A.P. में दो क्रमागत पदों के बीच का समान अंतर।
- 📌 परिमित A.P. (Finite A.P.): जिसकी पदों की संख्या सीमित हो।
- 📌 अपरिमित A.P. (Infinite A.P.): जिसकी पदों की संख्या अनंत हो।
5.3 A.P. का nवाँ पद
सूत्र5.3 A.P. का nवाँ पद
A.P. के nवें पद को ज्ञात करने के लिए एक सामान्य सूत्र होता है। यदि A.P. का पहला पद a है और सार्व अंतर d है, तो nवें पद aₙ को निम्नलिखित सूत्र से व्यक्त किया जा सकता है: aₙ = a + (n - 1)d। इस सूत्र का व्युत्पन्न इस प्रकार है कि पहला पद a है, दूसरा पद
अभ्यास प्रश्न — Chapter 5
NCERT अभ्यास प्रश्न और उत्तर सहित
Q1.A.P का n th पद 5, 2, -1, -4, -7 …. द्वारा दिया जाता है
उत्तर:
8 – 3n
Q2.A.P का (n - 1) th पद 7,12,17, 22, ... द्वारा दिया जाता है
उत्तर:
5n – 3
Q3.यदि किसी A.P में तीन संख्याओं का योग 9 है और उनका गुणनफल 24 है, तो संख्याएँ हैं
उत्तर:
2, 3, 4
Q4.यदि p, q, r और s, A.P में हैं तो r - q है
उत्तर:
s – r
Q5.A.P के 12 पदों का योग ज्ञात कीजिए जिसका nth पद T n = 3n + 4 द्वारा दिया गया है
उत्तर:
262
Q6.निम्न में से कौन A.P. नहीं है? (i) a, a + 1, a + 2, a + 3… (ii) 4, 9, 14, 19 (iii) 4, 5, 4, 4, 5, 4, 4, 5 ...
उत्तर:
केवल (iii)
व्याख्या:
[{"id": "86d56209-2446-4b06-8033-dd97f06d6114", "type": "html", "value": " (i) a, a+1, a+2, a+3 … a₂ ─ a₁ = 1 a₃ ─ a₂ = 1 a₄ ─ a₃ = 1 तो, यह एक A.P. है। (ii) 4, 9, 14, 19 a₂ ─ a₁ = 5 a₃ ─ a₂ = 5 a₄ ─ a₃ = 5 तो, यह एक A.P. है। (iii) 4, 5, 4, 4, 5, 4, 4, 5…. a₂ ─ a₁ = 1 a₃ ─ a₂ = ─ 1 a₄ ─ a₃ = 0 चूंकि a₃ ─ a₂ ≠ a₄ ─ a₃, यह A.P. नहीं है। इसलिए, सही विकल्प, विकल्प 3 है। "}]
Q7.A.P.: 2, 5, 8, …, 35 के अंत से चौथा पद ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
26
व्याख्या:
[{"id": "5021dbcd-a2c5-49cd-b557-ef71e1e29d1d", "type": "html", "value": " A.P. 2, 5, 8, ..., 35 है a = 2, d = 3 , l = 35 an = a + (n ─ 1) d 35 = 2 + (n ─ 1) 3 33 = 3n ─ 3 36 = 3n n = 12 तो A.P. में 12 पद हैं। अंत से चौथा पद, 9 वां पद होगा। a₉ = 2 + (9 ─ 1)3 a₉ = 2 + 24 = 26 तो सही उत्तर विकल्प 1 है। "}]
Q8.बच्चों के गुब्बारों की दौड़ में, एक बाल्टी को आरंभस्थल पर रखा गया है, जो पहले गुब्बारे से 2 मीटर दूर है और और अन्य सभी गुब्बारों को एक सीधी रेखा में 3m की दूरी पर रखा गया है। इस सीधी रेखा में कुल 12 गुब्बारें हैं। एक बच्चा बाल्टी से अपनी दौड़ शुरू करता है, निकटतम गुब्बारा उठाता है, उसके साथ वापस दौड़ता है, बाल्टी में उसे रखता है, अगले गुब्बारे को लेने के लिए वापस दौड़ता है, और फिर से बाल्टी में रखने के लिए वापस दौड़ता है। बच्चा उसी तरह से दौड़ता रहता है जब तक कि सभी गुब्बारे बाल्टी में नहीं होते। बच्चे द्वारा भागे गए कुल दूरी का पता लगाएं।
उत्तर:
444 m
व्याख्या:
[{"id": "5f227d80-f7cf-4a36-b21c-a59a7818c36e", "type": "html", "value": " आरंभस्थल से निकटतम गुब्बारे की दूरी = 2m गुब्बारों की संख्या = 12 गुब्बारों की दूरी हैं: 2, 5, 8, 11… ये संख्या a = 2 और d = 3 के साथ एक A.P. बनाती है। हम जानते है, S₁₂ = 12/2 [2 x 2 + (12 ─ 1)3] S₁₂ = 6 ( 4 + 11 x 3) = 6(37) = 222 चूँकि बच्चे को वापस बाल्टी की ओर भागना है, इसलिए बच्चे को दौड़ने के लिए कुल दूरी S₁₂ के 2 गुना होगी। तो, बच्चे द्वारा 2 x 222 m = 444 m दूरी तय की गई होगी। तो 2, सही विकल्प है। "}]
Ganit के सभी 14 अध्याय
Mathematics · Class 10