दो चरों वाले रैखिक समीकरण
दो चरों वाले रैखिक समीकरण — अध्ययन नोट्स
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4.1 भूमिका
व्याख्या4.1 भूमिका
इस खंड में हम दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के अध्ययन की शुरुआत करते हैं। आपने पहले एक चर वाले रैखिक समीकरणों का अध्ययन किया है, जैसे कि x + 1 = 0, x + √2 = 0, और √2y + √3 = 0। इन समीकरणों का एक अद्वितीय हल होता है, अर्थात् केवल एक ऐसा मान जो समीकरण को संतुष्ट करता है। इस अध्याय में हम दो चरों वाले रैखिक समीकरणों पर ध्यान केंद्रित करेंगे, जहाँ दो अज्ञात चर होते हैं, सामान्यतः x और y। हम यह जानने का प्रयास करेंगे कि क्या ऐसे समीकरणों का हल होता है, यदि होता है तो वह अद्वितीय होता है या नहीं, और उनके हल कार्तीय तल (Cartesian plane) पर किस प्रकार प्रदर्शित होते हैं। इसके लिए हम अध्याय 3 में सीखी गई संकल्पनाओं का भी उपयोग करेंगे। इस प्रकार, यह अध्याय गणितीय समस्याओं को समीकरणों के रूप में प्रस्तुत करने और उन्हें सरल रूप में समझने की कला को आगे बढ़ाएगा।
- एक चर वाले रैखिक समीकरणों का पुनरावलोकन।
- दो चरों वाले रैखिक समीकरणों का परिचय।
- समाधान की प्रकृति और अद्वितीयता पर प्रश्न।
- कार्तीय तल पर हलों का निरूपण।
- अध्याय 3 की संकल्पनाओं का उपयोग।
- 📌 रैखिक समीकरण: ऐसा समीकरण जिसमें चर की घात 1 होती है।
- 📌 चर (Variable): समीकरण में अज्ञात मान जिन्हें x, y आदि से दर्शाया जाता है।
- 📌 कार्तीय तल: x और y अक्षों वाला समतल जहाँ बिंदु निरूपित होते हैं।
4.2 रैखिक समीकरण
व्याख्या4.2 रैखिक समीकरण
इस खंड में हम दो चरों वाले रैखिक समीकरणों की परिभाषा, स्वरूप और उनके उदाहरणों को विस्तार से समझेंगे। पहले एक चर वाले समीकरण 2x + 5 = 0 का उदाहरण लेते हैं, जिसका हल x = -5/2 है। इसे संख्या रेखा पर निरूपित किया जा सकता है (आकृति 4.1)। इसके बाद, हम एक वास्तविक जीवन की समस्या लेते हैं: भारत और श्रीलंका के बीच क्रिकेट मैच में दो बल्लेबाजों ने कुल 176 रन बनाए। यदि पहले बल्लेबाज के रन x और दूसरे के y हों, तो समीकरण x + y = 176 बनता है, जो दो चरों वाला रैखिक समीकरण है। इस प्रकार के समीकरणों में दोनों चर की घात 1 होती है और इसे सामान्य रूप ax + by + c = 0 के रूप में लिखा जा सकता है जहाँ a, b, c वास्तविक संख्याएँ होती हैं और a तथा b दोनों शून्य नहीं होते। इस खंड में उदाहरणों के माध्यम से विभिन्न समीकरणों को इस सामान्य रूप में व्यक्त करना सिखाया गया है, जैसे कि 2x + 3y = 4.37 को 2x + 3y - 4.37 = 0 के रूप में। साथ ही, यह भी बताया गया है कि एक चर वाले समीकरण भी दो चरों वाले समीकरण की श्रेणी में आते हैं, जहाँ दूसरे चर का गुणांक शून्य होता है।
- दो चरों वाले रैखिक समीकरण का सामान्य रूप ax + by + c = 0।
- a और b दोनों शून्य नहीं होने चाहिए।
- वास्तविक जीवन की समस्याओं को समीकरण के रूप में व्यक्त करना।
- एक चर वाले समीकरण को भी दो चरों वाले समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है।
- समीकरणों को सामान्य रूप में लिखने के उदाहरण।
- 📌 दो चरों वाला रैखिक समीकरण: ऐसा समीकरण जिसमें दो अज्ञात चर होते हैं और दोनों की घात 1 होती है।
- 📌 समीकरण का सामान्य रूप: ax + by + c = 0।
प्रश्नावली 4.1
व्याख्याप्रश्नावली 4.1
इस प्रश्नावली में विद्यार्थियों को दो चरों वाले रैखिक समीकरणों को समझने और उन्हें सामान्य रूप ax + by + c = 0 में व्यक्त करने का अभ्यास कराया गया है। प्रश्नों में दैनिक जीवन की स्थितियों को समीकरणों में व्यक्त करना, दिए गए समीकरणों को सामान्य रूप में
अभ्यास प्रश्न — दो चरों वाले रैखिक समीकरण
NCERT अभ्यास प्रश्न और उत्तर सहित
Q1.रैखिक समीकरण (linear equation) x = 3y + 5 के _____ है |
उत्तर:
अपरिमित रूप से अनेक हल
व्याख्या:
[{"id": "23997898-d6b3-4c1f-825d-2cf83934b44a", "type": "html", "value": " y = 0 रखिए, x = 3 (0) + 5, हमें x = 5 मिलेगा ..... (5, 0) y = 1 रखिए, x = 3(1) + 5 , हमें x = 8 मिलेगा..... (8, 1) y = 10 रखिए, x = 3(10) + 5, हमें t x = 35 मिलेगा..... (35, 10) दो चर वाले रैखिक समीकरण के अपरिमित रूप से अनेक हल होते हैं। इसलिए , x = 3y + 5 के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं। "}]
Q2.समीकरण 5x + 4y = 20 के लिए दो सही हल वाले विकल्प को पहचानिए।
उत्तर:
(0, 5) और (4, 0)
व्याख्या:
[{"id": "4b1b048f-ac05-4dee-b58d-f6302066db68", "type": "html", "value": " 5x + 4y = 20 (x = 0, y = 5) लेने पर, बांया पक्ष = 5(0) + 4(5) = 20 = दांया पक्ष (x = 4, y = 0) लेने पर, बांया पक्ष = 5(4) + 4(0) = 20 = दांया पक्ष इसलिए, (0, 5) और (4, 0) दिए गए दो चर वाले रैखिक समीकरण के हल हैं। "}]
Q3.निम्न में से कौन सा विकल्प इस समीकरण का हल नहीं है? 2x – y = 6
उत्तर:
(2, 4)
व्याख्या:
[{"id": "84941e7d-beba-40b1-9a1d-3fc19ff9c055", "type": "html", "value": " 2x - y = 6 (x = 2, y = 4) लेने पर, बांया पक्ष = 2(2) - 4 = 0 ≠ दांया पक्ष इसलिए, (2, 4) समीकरण 2x - y = 6 का सही हल नहीं है। विकल्प 2, 3 और 4 समीकरण 2x - y = 6 के हल हैं । "}]
Q4.निम्न में से कौन सा विकल्प इस समीकरण का हल नहीं है ? 7x – 4y = 16
उत्तर:
(5, 2)
व्याख्या:
[{"id": "7b22138c-8121-4a52-bc6e-83e6fbf70440", "type": "html", "value": " 7x – 4y = 16 (x = 5, y = 2) लेने पर, बांया पक्ष = 7(5) - 4(2) = 27 ≠ दांया पक्ष इसलिए, (5, 2) समीकरण 7x - 4y = 16 का हल नहीं है जबकि बाकि के विकल्प इस समीकरण के हल हैं। इसलिए, विकल्प 3 सही उत्तर है। "}]
Q5.x = 4, y = 6 किस रैखिक समीकरण का एक हल है?
उत्तर:
x + y = 10
व्याख्या:
[{"id": "77a48584-92a3-465d-a2a5-7453b4b65004", "type": "html", "value": " x = 4 और y = 6 को विकल्प 1 में प्रतिस्थापित कीजिए, बांया पक्ष = 4 + 6(6) = 4 + 36 = 40 ≠ दांया पक्ष इसलिए, विकल्प 1 गलत है। x = 4 और y = 6 को विकल्प 2 में प्रतिस्थापित कीजिए, बांया पक्ष = 4(4) + 6(6) = 16 + 36 = 52 ≠ दांया पक्ष इसलिए, विकल्प 2 गलत है। x = 4 और y = 6 को विकल्प 3 में प्रतिस्थापित कीजिए, बांया पक्ष = 4 + 6 = 10 = दांया पक्ष इसलिए ,विकल्प 3 सही उत्तर है। x = 4 और y = 6 को विकल्प 4 में प्रतिस्थापित कीजिए, बांया पक्ष = 4(4) + 6 = 16 + 6 = 22 ≠ दांया पक्ष इसलिए, विकल्प 4 गलत है। "}]
Q6.k का मान ज्ञात कीजिए, यदि x = - 2, y = 3 समीकरण का हल है: 5x + 6y = k
उत्तर:
k = 8
व्याख्या:
[{"id": "65856856-f5c5-4127-b113-8553bd492dee", "type": "html", "value": " 5x + 6y = k (x = -2, y = 3) लेने पर, हमें, 5(- 2) + 6(3) = k - 10 + 18 = k k = 8 मिलेगा । इसलिए, k का मान 8 है। "}]
Q7.यदि किसी बिंदु का x- निर्देशांक शून्य है, तो बिंदु _________ स्थित होगा।
उत्तर:
y- अक्ष पर
व्याख्या:
[{"id": "ca2e3e7f-9211-403c-bd8c-b040dadb199b", "type": "html", "value": " यदि किसी बिंदु का x-निर्देशांक शून्य है, तो बिंदु y- अक्ष पर स्थित होंगे। क्योंकि y- अक्ष पर प्रत्येक बिंदु का x- निर्देशांक शून्य है।Y- अक्ष पर मौजूद बिंदुओं को (o, y) के रूप में दर्शाया जा सकता है। "}]
Q8.निम्नलिखित विकल्पो में से, प्रत्येक में 3 बिंदुओं के निर्देशांक दिए गए है। वह विकल्प चुनिए जिसके बिंदुओं को जोड़ने पर x -अक्ष के समांतर रेखा प्राप्त होगी?
उत्तर:
(1, 5), (2, 5), (4, 5)
व्याख्या:
[{"id": "7d8ef800-0d9c-453e-a6e5-db8f83214f32", "type": "html", "value": " यदि हम विकल्प 1 में दिए गए बिंदुओं को आलेखित करते हैं, तो हमें x-अक्ष के समांतर एक सीधी रेखा मिलेगी। "}]