Chapter 3
Chapter 3 — अध्ययन नोट्स
NCERT-संरेखित · 6 नोट्स · 3 निःशुल्क दिखाए गए
3.1 भूमिका
व्याख्या3.1 भूमिका
निर्देशांक ज्यामिति गणित की वह शाखा है जिसमें हम ज्यामितीय आकृतियों को निर्देशांकों के माध्यम से अभिव्यक्त करते हैं। इस अध्याय की शुरुआत में हम समझते हैं कि किसी बिंदु की स्थिति को एक संख्या रेखा पर एक संख्या के रूप में दर्शाना सरल होता है, लेकिन जब हमें किसी बिंदु की स्थिति को दो या अधिक रेखाओं के संदर्भ में बताना हो, तब हमें निर्देशांक प्रणाली की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, एक नगर में सड़कें पूर्व-पश्चिम और उत्तर-दक्षिण दिशा में बनी होती हैं और मकानों की संख्या प्रत्येक सड़क पर अलग-अलग होती है। यदि हमें किसी मकान का पता लगाना हो तो केवल सड़क संख्या जानना पर्याप्त नहीं होता, बल्कि मकान की संख्या भी जाननी पड़ती है। इसी प्रकार, कागज पर किसी बिंदु की स्थिति बताने के लिए हमें दो स्वतंत्र सूचनाएँ चाहिए होती हैं, जैसे कागज की बायीं कोर से दूरी और नीचे वाली रेखा से दूरी। इस प्रकार, दो लंब रेखाओं के संदर्भ में किसी बिंदु की स्थिति बताने की पद्धति को निर्देशांक ज्यामिति कहा जाता है। इस पद्धति का विकास फ्रांसीसी गणितज्ञ रेने दकार्ते ने किया था, इसलिए इसे कार्तीय पद्धति भी कहा जाता है। इस पद्धति में दो लंब रेखाएँ एक तल में एक-दूसरे को काटती हैं और किसी बिंदु की स्थिति को इन रेखाओं से मापी गई दूरियों के रूप में व्यक्त किया जाता है।
- निर्देशांक ज्यामिति में ज्यामितीय आकृतियों को निर्देशांकों के माध्यम से व्यक्त किया जाता है।
- किसी बिंदु की स्थिति बताने के लिए दो स्वतंत्र सूचनाएँ आवश्यक होती हैं।
- कार्तीय पद्धति में दो लंब रेखाएँ एक तल में एक-दूसरे को काटती हैं।
- रेने दकार्ते ने इस पद्धति का विकास किया था।
- निर्देशांक प्रणाली में बिंदु की स्थिति दो संख्याओं के रूप में व्यक्त होती है।
- 📌 निर्देशांक ज्यामिति: ज्यामितीय आकृतियों को निर्देशांकों के माध्यम से अभिव्यक्त करने की शाखा।
- 📌 कार्तीय पद्धति: दो लंब रेखाओं के संदर्भ में बिंदु की स्थिति बताने की पद्धति।
- 📌 मूलबिन्दु (Origin): दो अक्षों के प्रतिच्छेद बिंदु।
3.2 कार्तीय पद्धति
व्याख्या3.2 कार्तीय पद्धति
कार्तीय पद्धति में हम एक तल में दो लंब रेखाएँ लेते हैं, जिनमें से एक क्षैतिज (x-अक्ष) और दूसरी ऊर्ध्वाधर (y-अक्ष) होती है। ये दोनों रेखाएँ एक बिंदु पर मिलती हैं जिसे मूलबिन्दु (O) कहा जाता है। x-अक्ष और y-अक्ष की धनात्मक दिशाएँ मूलबिन्दु से दाईं ओर और ऊपर की ओर होती हैं, जबकि ऋणात्मक दिशाएँ इनके विपरीत होती हैं। इस प्रकार, यह तल चार भागों में विभाजित हो जाता है जिन्हें चतुर्थांश कहा जाता है। प्रत्येक बिंदु की स्थिति को x-अक्ष से उसकी लाबिक दूरी (x-निर्देशांक या भुज) और y-अक्ष से उसकी लाबिक दूरी (y-निर्देशांक या कोटि) के रूप में लिखा जाता है। निर्देशांक (x, y) के रूप में लिखे जाते हैं, जहाँ x पहले और y बाद में आता है। उदाहरण के लिए, बिंदु P के निर्देशांक (4, 3) हैं, जिसका अर्थ है कि यह बिंदु y-अक्ष से 4 एकक और x-अक्ष से 3 एकक दूर है। इसी प्रकार, बिंदु Q के निर्देशांक (-6, -2) हैं, जो दर्शाता है कि यह बिंदु x-अक्ष और y-अक्ष की ऋणात्मक दिशाओं में स्थित है। इस पद्धति से किसी भी बिंदु की स्थिति स्पष्ट और अद्वितीय रूप से व्यक्त की जा सकती है।
- कार्तीय पद्धति में दो लंब रेखाएँ होती हैं: x-अक्ष (क्षैतिज) और y-अक्ष (ऊर्ध्वाधर)।
- दोनों अक्ष एक बिंदु पर मिलते हैं जिसे मूलबिन्दु कहते हैं।
- तल चार चतुर्थांशों में विभाजित होता है।
- बिंदु के निर्देशांक (x, y) होते हैं, जहाँ x को भुज और y को कोटि कहते हैं।
- निर्देशांक तल में बिंदु की स्थिति अद्वितीय होती है।
- 📌 x-अक्ष: क्षैतिज निर्देशांक अक्ष।
- 📌 y-अक्ष: ऊर्ध्वाधर निर्देशांक अक्ष।
- 📌 मूलबिन्दु (Origin): x-अक्ष और y-अक्ष का प्रतिच्छेद बिंदु।
बिंदु के निर्देशांक
व्याख्याबिंदु के निर्देशांक
निर्देशांक तल में किसी बिंदु की स्थिति को दो संख्याओं के रूप में लिखा जाता है जिन्हें निर्देशांक कहते हैं। पहला निर्देशांक x-अक्ष से बिंदु की लाबिक दूरी होती है, जिसे भुज (abscissa) कहा जाता है, और दूसरा y-अक्ष से बिंदु की लाबिक दूरी होती है, जिसे को
अभ्यास प्रश्न — Chapter 3
NCERT अभ्यास प्रश्न और उत्तर सहित
Q1.किस चतुर्थांश में या किस अक्ष पर बिन्दु P (-4.5, 3), Q (0, -3.8), R (4.2, 5)और S (2.7, 0) स्थित हैं ? कार्तीय तल पर इनका स्थान निर्धरण करें और सही विकल्प चुनिए।
उत्तर:
P: दूसरा चतुर्थांश Q: चौथा चतुर्थांश R: पहला चतुर्थांश S: पहला चतुर्थांश
व्याख्या:
[{"id": "7184196b-dc81-47ea-8eea-0e1559434314", "type": "html", "value": " बिंदु P दूसरे चतुर्थांश (- , +) में स्तिथ है। बिंदु Q चौथे चतुर्थांश (+, -) में स्तिथ है। बिंदु R पहले चतुर्थांश (+, +) में स्तिथ है। बिंदु S पहले चतुर्थांश (+, +) में स्तिथ है। "}]
Q2.कार्तीय तल पर बिंदु Z (-4, -2) का स्थान निर्धरण कीजिए और ZX और ZY को X- अक्ष और y- अक्ष पर क्रमशः लम्ब (perpendicular) के रूप में खींचिए। बिंदु X और Y के निर्देशांक (coordinates) ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
बिंदु X(–4,0) बिंदु Y(0,-2)
व्याख्या:
[{"id": "e0c2d1d4-37ca-4ebd-83f7-ba4378b328f2", "type": "html", "value": " x - अक्ष पर, बिंदु Z से लंब बिंदु (-4 , 0) पर आयेगा और y - अक्ष पर, बिंदु Z से लंब बिंदु (0, -2) पर आयेगा। "}]
Q3.यदि Y -अक्ष से बिंदु Z की लांबिक दूरी 7 इकाई है और लंबवत पैर धनात्मक Y - अक्ष पर स्थित है, इसलिए बिंदु Z का _______ है।
उत्तर:
X-निर्देशांक = 7 या –7
व्याख्या:
[{"id": "7bc57c5d-8b3e-46e3-a330-11d0c4c5f5f3", "type": "html", "value": " हम जानते हैं कि,Y- अक्ष से किसी भी बिंदु की लांबिक दूरी उस बिंदु का x-निर्देशांक देती है। यहां, लंबवत पैर Y- अक्ष की धनात्मक दिशा पर स्थित है, इसलिए लांबिक दूरी पहले चतुर्थांश या दूसरे चतुर्थांश से मापी जा सकती है। इसलिए, बिंदु Z में X - निर्देशांक = 7 या -7 हो सकता है। "}]
Q4.नीचे दिए गए बिंदुओं से, पहचानिए कि इनमें से कौन सा कथन सही है: A (3, 1) B (-3, 3) C (-4, -2) D (-2, -4)
उत्तर:
बिंदु B दूसरे चतुर्थांश में स्थित है और बिंदु C और D तीसरे चतुर्थांश में स्थित है।
व्याख्या:
[{"id": "633d6fa1-ea8f-4308-aaf2-57e2975671ff", "type": "html", "value": " पहले चतुर्थांश में बिंदु A, दूसरे चतुर्थांश में बिंदु B और तीसरे चतुर्थांश में बिंदु C और D स्थित है। इस जानकारी के आधार पर, विकल्प 2 सही है। "}]
Q5.कार्तीय तल पर बिंदुओं P(0, 2), Q(-2, 0), R(0, -4) और S(2, 0) का स्थान निर्धरण कीजिए और PQ, QR, RS और SP को जोड़ दिजिए। निम्नलिखित में से कौन सी आकृति हमें प्राप्त होगी?
उत्तर:
पतंग (kite)
व्याख्या:
[{"id": "b47a5e1d-51e6-4d03-affa-57c4dec21463", "type": "html", "value": " यहाँ, बिंदु P (0, 2) Y- अक्ष की धनात्मक दिशा में स्थित है । बिंदु Q (-2, 0) x- अक्ष की ऋणात्मक दिशा में स्थित है। बिंदु R (0, -4) Y- अक्ष की ऋणात्मक दिशा में स्थित है और बिंदु S (2, 0) x- अक्ष की धनात्मक दिशा में स्थित है। PQ, QR, RS और SP को जोड़ने से हमें पतंग (kite) की आकृति प्राप्त होती है। "}]
Q6.यदि रोशन बिंदु S (3, -2) से चलना शुरू (Start) करता है और धनात्मक x- अक्ष की ओर लांबिक 3 इकाई जाता है, फिर वह बाईं ओर जाता है और 6 इकाई आगे बढ़ाता है और फिर दाईं ओर 2 इकाई आगे जाता है। पहचानिए कि रोशन अब किस चतुर्थांश में है और रोशन ठीक कौन से स्थान (End) पर है।
उत्तर:
दूसरा चतुर्थांश , E(-3,3)
व्याख्या:
[{"id": "5818d010-9043-4d13-821e-c6ca5dcdb1b8", "type": "html", "value": " शुरुआत बिंदु (3, -2) चौथे चतुर्थांश में है, अत: रोशन चौथे चतुर्थांश से चलना शुरू करता है। अब अगर वह X-अक्ष की ओर 3 कदम आगे बढ़ता है, तो यह उसे बिंदु (3, 1) पर ले जाएगा जो की पहले चतुर्थांश में है। अब वह बाईं ओर 6 कदम जाता है। इसका अर्थ है कि वह चतुर्थांश 2 की ओर बढ़ रहा है। अब रोशन बिंदु (-3, 1) पर है। अब वह दाहिनी ओर जाता है और दो कदम आगे बढ़ता है, वह अभी भी दूसरे चतुर्थांश में है और उसका स्थान ठीक (end) (-3, 3) है | "}]
Q7.XY- तल (xy-plane) में, पहले, दूसरे, तीसरे और चौथे चतुर्थांश(quadrant) के क्रमशः चिह्न चुनिए।
उत्तर:
(+, +), (–, +), (–, –) और (+, –)
व्याख्या:
[{"id": "49a22c61-78f9-4e8b-9869-111365bc4451", "type": "html", "value": " चतुर्थांश के चिह्न हैं, "}]
Q8.x- अक्ष के सभी बिंदुओं के भुज (abscissa) और कोटि (ordinate) ________ होंगे।
उत्तर:
कोई भी संख्या, शून्य
व्याख्या:
[{"id": "5c5db6c2-fdd1-4598-b4e8-09ae355faf56", "type": "html", "value": " x - अक्ष के सभी बिंदुओं के भुज (abscissa) का अर्थ है x - अक्ष पर स्तिथ कोई भी संख्या। x - अक्ष की सभी संख्यों की कोटि (ordinate) शुन्य है। चूँकि एक बिंदु का y - निर्देशांक (कोटि /ordinate), x - अक्ष से उसकी लांबिक दूरी होती है जिसे y - अक्ष पर मापा जाता है। यदि बिंदु x - अक्ष पर स्थित है, तो x - अक्ष से बिंदु की लांबिक दूरी शून्य होगी, इसलिए निर्देशांक शून्य होगा। "}]