दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म

3.1 भूमिका

इस अनुभाग में दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म की आवश्यकता और उपयोगिता को एक वास्तविक जीवन की समस्या के माध्यम से समझाया गया है। अखिला मेले में चरखी की सवारी और हूपला खेलने के संदर्भ में यह समस्या प्रस्तुत की गई है, जहाँ उसने हूपला खेलने की संख्या को y तथा चरखी की सवारी की संख्या को x से निरूपित किया। समस्या में दिया गया है कि हूपला खेलने की संख्या चरखी की सवारी की संख्या का आधा है, अर्थात् y = (1/2) x, और कुल खर्च ₹20 है, जिसमें प्रत्येक चरखी की सवारी ₹3 तथा हूपला खेलने के लिए ₹4 खर्च होता है। इस स्थिति को दो समीकरणों के रूप में लिखा जा सकता है: y = (1/2) x तथा 3x + 4y = 20। इस प्रकार की समस्याओं को दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म के माध्यम से निरूपित और हल किया जा सकता है। इस अध्याय में हम ऐसे समीकरण युग्मों के ग्राफिकल और बीजगणितीय समाधान की विधियों का अध्ययन करेंगे।

• दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म में दो अज्ञात चर होते हैं, जैसे x और y।
• रैखिक समीकरण का अर्थ है कि दोनों चरों का घातांक 1 होता है।
• व्यावहारिक समस्याओं को दो समीकरणों के रूप में निरूपित किया जा सकता है।
• उदाहरण में, चरखी की सवारी और हूपला खेलने की संख्या को दो समीकरणों द्वारा व्यक्त किया गया।
• इस अध्याय में इन समीकरणों के ग्राफिकल और बीजगणितीय समाधान की विधियाँ सीखेंगे।
• 📌 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म: दो ऐसे समीकरण जिनमें दो अज्ञात चरों x और y होते हैं और दोनों रैखिक होते हैं।
• 📌 रैखिक समीकरण: ऐसा समीकरण जिसमें चरों का घातांक 1 होता है।

3.2 रैखिक समीकरण युग्म का ग्राफीय विधि से हल

इस अनुभाग में दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म के ग्राफिकल निरूपण और उनके हल के प्रकारों पर विस्तार से चर्चा की गई है। दो रैखिक समीकरणों को ग्राफ पर रेखाओं के रूप में निरूपित किया जाता है। इन रेखाओं के आपसी व्यवहार के आधार पर समीकरण युग्म के हल की प्रकृति निर्धारित होती है। यदि रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो समीकरण युग्म का अद्वितीय हल होता है, इसे संगत (consistent) और अविरोधी (independent) युग्म कहते हैं। यदि रेखाएँ संपाती (coincident) होती हैं, तो समीकरण युग्म के अपरिमित हल होते हैं, इसे आश्रित (dependent) संगत युग्म कहते हैं। यदि रेखाएँ समांतर होती हैं, तो समीकरण युग्म का कोई हल नहीं होता, इसे असंगत (inconsistent) युग्म कहते हैं। इन स्थितियों को समीकरणों के अनुपातों a₁/a₂, b₁/b₂ और c₁/c₂ की तुलना से भी पहचाना जा सकता है। **Table on page 3 (2×8)** | क्र. सं. | रेखा युग्म | $\frac{a_1}{a_2}$ | $\frac{b_1}{b_2}$ | $\frac{c_1}{c_2}$ | अनुपातों की तुलना | ग्राफीय निरूपण | बीजगणितीय निरूपण | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | 1 | $x - 2y = 0$

• दो रैखिक समीकरणों का ग्राफ दो रेखाएँ होती हैं।
• यदि रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो समीकरण युग्म का अद्वितीय हल होता है।
• यदि रेखाएँ संपाती हैं, तो समीकरण युग्म के अपरिमित हल होते हैं।
• यदि रेखाएँ समांतर हैं, तो समीकरण युग्म का कोई हल नहीं होता।
• अनुपातों की तुलना से हल की प्रकृति निर्धारित की जा सकती है।
• 📌 संगत युग्म: ऐसा समीकरण युग्म जिसका कम से कम एक हल होता है।
• 📌 असंगत युग्म: ऐसा समीकरण युग्म जिसका कोई हल नहीं होता।
• 📌 आश्रित युग्म: ऐसा संगत युग्म जिसके अपरिमित हल होते हैं।